题库浏览

已知 $W_1=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a& 0& d\\ c& 0& b\\ 0& c& 0\end{array}\right):a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\},$ ...

已知 $A$ 是 $n$ 阶方阵，多项式 $g(x)$ 满足 $g(A)=O$⁠。证明：对于任意非零多项式 $f(\lambda )$⁠，若 $(f(\lambda ),g(\lambda ))=d(\lambda ),$ 则 $f(A)$ 与 $d(A)$ 的秩相等。

已知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_t$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的基础解系。证明 $2{\alpha }_1+{\alpha }_2,2{\alpha }_2+{\alpha }_3,\dots ,2{\alpha }_{t-1}+{\alpha }_t,2{\alpha }_t+{\alpha }_1$ ...

设 $f_1(x),f_2(x),f_3(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式。证明： $x^3+x^2+x+1\mid x^2{f}_1(x^4)+x{f}_2(x^4)+f_3(x^4)$ 当且仅当 $(x-1)\mid f_i(x),i=1,2,3.$

计算三重积分 ${\iiint }_{\omega }zdxdydz,$ 其中 $\omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=8$ 的上半部分与抛物面 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 所围立体。

求函数 $f(x,y,z)=x^4+y^4+z^4$ 在条件 $xyz=1$ 下的极值，并判断该极值是极大值还是极小值。

计算第二类曲线积分 $I={\int }_L\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2},$ 其中 $L$ 是从 $A(-1,0)$ 到 $B(1,0)$ 的一条位于 $x$ 轴上侧且不通过原点的光滑曲线。

设 $f$ 是 $[0,+\infty )$ 上的正值单调递减函数，且 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。证明 ${\lim }_{h\to 0^{+}}h{\sum }_{n=1}^{\infty }f(nh)={\int }_0^{+\infty }f(x)dx.$

叙述并证明拉格朗日中值定理。

设 $f(x)$ 为左去心邻域 $U_{-}^{\circ }(x_0)$ 上的单调有界函数。证明 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$ 存在。

设 $a_n>0$⁠，且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散。判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{1+n^2{a}_n}$ 的敛散性。

判断正误：在 $[0,1]$ 上存在函数，使其在每个有理点连续，而在每个无理点不连续。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能