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设 $f_n(x)=x^n-x^{3n},0\le x\le 1.$ 判断函数列 $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上的收敛。

判断正误：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的非负函数，且 ${\int }_a^{b}f(x)dx=0.$ 则在 $[a,b]$ 上一定存在非空开区间，使得 $f$ 恒为零。

已知 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2},$ 计算 ${\int }_0^{+\infty }{\left(\frac{\sin \alpha x}{x}\right)}^{2}dx,\alpha >0.$

利用 $\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n},$ 计算 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}.$

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cos x\right).$

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^3-5A^2+4A=0.$ 证明 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^2-A)+\mathrm{rank}(A^2-4A).$

证明 $A$ 可逆的充要条件是其最后一个不变因子 $d_n(\lambda )$ 有非零常数项。

证明 $n\times n$ 数字矩阵 $A$ 的特征矩阵 $\lambda I-A$ 是满秩矩阵，但不是多项式环上的可逆矩阵。

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵。证明存在下三角矩阵 $B$⁠，使 $A=B{B}^T$⁠。

若上述 $f$ 在有理数域上可约，证明 $n$ 必为偶数，且 $f$ 必能表示成某个整系数多项式的平方。

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设 $f(x)=(x-k_1)(x-k_2)\cdots (x-k_n)+1,$ 其中 $n>2$⁠，$k_1,\dots ,k_n$ 是互异整数。证明 $f$ 在复数域上可约。

定义线性变换 $\mathcal{A}(X)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -2& -6\end{array}\right)X.$ 求 $\mathcal{A}$ 在基 $B_{11},B_{12},B_{21},B_{22}$ 下的矩阵。