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计算 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}.$

证明数列 $a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln n$ 收敛。

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\right)}^{2n+1}.$

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2{\sin }^2(1/x),& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$ 计算 $f^{\prime }(x)$⁠，并讨论 $f^{\prime }(x)$ 的连续性。

求 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^x-x}{\ln x-x+1}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2}\right).$

设 $m,n$ 为正整数，求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[m]{\cos x}-\sqrt[n]{\cos x}}{{\sin }^{2}x}.$