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计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1\sqrt[n]{x^n+(1-x{)}^n}dx.$

设 $f(0)=0,f(1)=2$⁠，证明存在不同的 $\xi ,\eta \in (0,1)$⁠，使 $[1+f^{\prime }(\xi )][1+f^{\prime }(\eta )]=9.$

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递推 $x_n=\frac{y_{n-1}+z_{n-1}}{2},y_n=\frac{x_{n-1}+z_{n-1}}{2},z_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2}.$ 证明三列收敛并求极限。

求最小实数 $a$⁠，使对任意 $x>0$⁠， ${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+a}>e.$

设 $\phi :M_n(F)\to M_m(F)$ 为保单位的代数同态。证明它单射且 $n\mid m$⁠。

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设 $A=f(X),B=g(X)\in M_3(\mathbb{C})$⁠，且 $A^2=B^2=0$⁠。证明存在 $\lambda$ 使 $A=\lambda B$ 或 $B=\lambda A$⁠。

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设特征多项式 $f=gh$⁠，$(g,h)=1$⁠，且 $\mathrm{deg}g,\mathrm{deg}h<n$⁠。证明 $A$ 可相似分块为两个低阶方阵。

设 $A$ 有 $n$ 个互异特征值 ${\lambda }_i$ 与特征向量 ${\alpha }_i$⁠，$\beta =\sum {\alpha }_i$⁠。(1) 证明 $\beta ,A\beta ,\dots ,A^{n-1}\beta$ 无关；(2) 若 $A^n\beta =A\beta$⁠，求 $r(A-I)$⁠。

设 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C\in M_{n\times m}(\mathbb{R})$ 列满秩。求 $\left(\begin{array}{cc}B& C\\ C^T& 0\end{array}\right)$ 的正负惯性指数。

$(n+1)$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $0$ 和全部 $n$ 次单位根。证明 $2I-A$ 可逆并求逆。

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设 $A$ 为 $n>2$ 阶实对称正定矩阵。证明 $A=I$ 当且仅当伴随矩阵 $A^{\ast }=A$⁠。

设 $F(x)={\prod }_{i=1}^n(x-a_i)$⁠，$a_i$ 两两不同，$l_i(x)=F(x)/[(x-a_i)F^{\prime }(a_i)]$⁠。证明 $l_i$ 无关、和为一，并表示任意次数小于 $n$ 的多项式。