保研夏令营真题

【命题辨析 / 找反例】回忆材料中的原命题为：设 $G$ 是有限群，$H\le G$⁠，且 $|H|$ 与指数 $[G:H]$ 互素，则 $H⊴G$⁠。 判断该命题是否成立；若不成立，请给出反例并验证全部条件。

设 $(X,\mathcal{F},\mu )$ 为有限测度空间。证明：$f_k\to 0$ 依测度收敛，当且仅当 ${\int }_X\frac{f_k^2}{1+f_k^2}\mathrm{d}\mu ⟶0$ 。

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设线性变换 $\phi$ 的最小多项式为 $m_{\phi }(x)=(x-2{)}^2(x-1)$ 。 判断并证明是否有 $V=\ker (I_V-\phi )\oplus \ker ((2I_V-\phi {)}^2)$ 。

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠。证明：存在可逆矩阵 $S$ 和对称矩阵 $T$⁠，使得 $A=ST$⁠。

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设 $A$ 为三阶矩阵，$E$ 为三阶单位矩阵，求 $|A+3E|$⁠。分别讨论： (1)$|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=0$⁠； (2)$|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=2$⁠。

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导且有界，并且对每个 $x\in \mathbb{R}$ 都有 $|f^{\prime }(x)|<1$⁠。判断并证明：是否必存在常数 $M<1$⁠，使得对一切 $x\in \mathbb{R}$⁠， $|f(x)-f(0)|\le M|x|$

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设 $a_n>0$⁠，且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}=2$ 判断并证明是否有 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1^2+\cdots +a_n^2}{n^2}=0$

设 $q>0$⁠，判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)}^q}$ 的敛散性。

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$⁠、$f(1)=1$⁠。证明：对任意正数 $\lambda ,m$⁠，存在两个不同的点 $\xi ,\eta \in (0,1)$⁠，使得 $\frac{\lambda }{f^{\prime }(\xi )}+\frac{m}{f^{\prime }(\eta )}=\lambda +m$ 。

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(10 分)【仅限统计学专业】求回归直线使得该直线到给定样本点 $(x_i,y_i)$($i=1,2,\dots ,n$)垂直距离的平方和最小。

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(10 分)【仅限统计学专业】若 $\{X_n\}$ 为独立随机变量序列，具有相同分布 $\mathbb{P}\{X_n=1\}=\frac{1}{2},\mathbb{P}\{X_n=0\}=\frac{1}{2}.$ 证明： $Y_n={\sum }_{k=1}^n\frac{X_k}{2^k}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }U(0,1).$

(10 分)【仅限数学专业】求 $\mathbb{R}$ 上的自同构群。