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设 $S=\{\alpha \in {\mathbb{R}}^2:{\alpha }^T\alpha \le 1\},$ $A$ 为二阶实矩阵，记 $AS=\{A\alpha :\alpha \in S\}$⁠。 1. 当 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 时，精确描述 $AS$⁠； 2. 当...

设 $A\in K^{n\times n}$⁠，递归定义多重伴随矩阵 $A^{(0)}=A,A^{(1)}=A^{,}{A}^{(m)}=(A^{((m-1))}{)}^{.}$ 证明： 1. $A^{\ast \ast }=|A{|}^{n-2}A$⁠； 2....

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判断是否存在 $A\in {\mathbb{Q}}^{2\times 2}$⁠，满足 $A^6=I,A^3\ne I,A^2\ne I,$ 且 $A$ 的全部元素之和为2023。若存在，给出一个例子。

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设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& 0\\ 2& -1& 0\\ a& -1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 4\\ 2& -3& 4\\ 1& -2& 3\end{array}\right).$ 若 $A$ 与 $B$ 相似，求实数 $a$ 的取值。

证明：存在正交矩阵 $Q$⁠，使 $Q^{T}AQ$ 为实对角矩阵的充要条件是 $A$ 的特征值均为实数且 $A^{T}A=A{A}^T.$

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设 $A$ 是可逆反对称矩阵，求分块矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A& {\alpha }^T\\ \alpha & 0\end{array}\right)$ 的秩，其中各分块尺寸相容。

已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right).$ 求 $A$ 与 $A^4$ 的特征值。

设 $A_1,A_2,B_1,B_2$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A_2,B_2$ 可逆。证明：存在可逆矩阵 $P,Q$ 使 $B_1=P{A}_{1}Q,B_2=P{A}_{2}Q$ 的充要条件是 $A_1{A}_2^{-1}$ 与 $B_1{B}_2^{-1}$ 相似。

设 $A$ 是实矩阵。证明线性方程组 $AX=B$ 有解的充要条件是 $B$ 与齐次方程组 $A^{T}X=0$ 的解空间正交。

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 是相容非齐次方程组 $AX=B\ne 0$ 的系数矩阵，且 $\mathrm{rank}A=r$⁠。 1. 证明方程组有 $n-r+1$ 个线性无关的解向量； 2. 用两种形式表示通解。

设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，$\beta$ 是 $m$ 维实列向量。 1. 证明 $\mathrm{rank}(A^{T}A)=\mathrm{rank}A$⁠； 2. 证明 $A^{T}AX=A^T\beta$ 有解，且任意两个解 $X_1,X_2$ 满足 $A{X}_1=A{X}_2$⁠。

设 $a_1,\dots ,a_n\in F$⁠。在数域 $F$ 上解 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0,$ 并在有无穷多解时给出基础解系。