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给定实对称正定矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& \beta \\ {\beta }^T& a\end{array}\right),$ 其中 $\beta$ 为 $n-1$ 维列向量。 (1) 证明 $a-{\beta }^T{A}_1^{-1}\beta >0;$ (2) 若 $A$ 的非对角元素均不大于 $0$⁠，证明 $A^{-1}$...

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设 $A,B$ 均为 $n$ 阶实矩阵，证明： (1) $\mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}(A)$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶矩阵 $C$⁠，使 $ABC=A$⁠； (2) 若...

设向量组 $(I):{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 中的每个向量均非零。证明：若向量组 $(I)$ 的极大线性无关组唯一，则 $\mathrm{rank}(I)=s.$

解答下列问题： (1) 计算 $n$ 阶行列式($n\ge 2$) $D_n=\det \left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1^2& a_2^2& \cdots & a_n^2\\ a_1^3& a_2^3& \cdots & a_n^3\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^n& a_2^n& \cdots & a_n^n\end{array}\right).$ ...

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设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 为非空连通开集，$f:\Omega \to \mathbb{R}$ 连续，且对每个满足 $\overline{B_r(x)}\subset \Omega$ 的圆盘均有 $f(x)=\frac{1}{\pi r^2}{\int }_{B_r(x)}f.$ 证明：若 $f$ 在 $\Omega$...

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设 $E$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集，函数 $f:E\to {\mathbb{R}}^m,g:E\to {\mathbb{R}}^m$ 均可微。令 $h(x)=⟨f(x),g(x)⟩.$ 证明 $h$ 在 $E$ 上可微，且...

设 $\Gamma (a)={\int }_0^{+\infty }{x}^{a-1}{e}^{-x}dx,a>0.$ 证明： (1) $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$⁠； (2) $\ln \Gamma (a)$ 是凸函数。

设 $x_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}-2\sqrt{n}(n\ge 1).$ 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛。

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $(-1,1)$ 上收敛，且 $a_n\ge 0$⁠。又设 ${\lim }_{x\to 1^{-}}{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=S\in \mathbb{R}.$ 证明 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 收敛于 $S$⁠。

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续。证明 $f(x)=O(x)(x\to +\infty ).$

设 $C$ 为心脏线 $r=1+\cos \theta$ 的正向边界，计算 ${\oint }_C(x+y^2)dx+(y+x^2)dy.$

计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le 4}\left(x^2\sin y+x\ln (1+y^2)\right)dxdy.$