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设 $V$ 为有限维线性空间，$\mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换。证明 $\dim V=\dim \ker \mathcal{A}+\dim \mathrm{Im}\mathcal{A}.$

仍记 $N(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}$:\lambda A\text{ 与 }A\text{ 相似}\}. 若 $A$ 不是幂零矩阵，证明 $N(A)$ 为有限集。

记 $N(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}$:\lambda A\text{ 与 }A\text{ 相似}\}. 若 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$ 求 $N(A)$⁠。

判断正误：当 $n$ 为偶数时，存在 $A,B\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$⁠，使对任意 $0\ne \alpha \in {\mathbb{R}}^n$⁠，向量 $A\alpha ,B\alpha$ 线性无关。

判断正误：多项式 $p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $p(x^2)$ 在 $K$ 上也不可约。

判断正误：若 $V=W_1\oplus W_2,$ 则对任意 $\alpha \in V$⁠，都有 $\alpha \in W_1$ 或 $\alpha \in W_2$⁠。

判断 $f(x)=(x+1{)}^{2024}-x^{2024}-1$ 是否有重根，并说明理由。

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设 $f(x)=(x+1{)}^{2024}-x^{2024}-1.$ 求 $f^{\prime }(x)$ 的所有复数根，并给出它在复数域和实数域上的不可约因式分解。

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设 $f(x)=(x+1{)}^{2024}-x^{2024}-1.$ 求 $f^{\prime }(x)$⁠。

通过将上一问中 $f(x)$ 的 Fourier 级数逐项积分，计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}.$

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设 $f(x)=\frac{1}{4}x(2\pi -x),x\in [0,2\pi ].$ 将 $f$ 展开为 $[0,2\pi ]$ 上的 Fourier 级数，并计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}.$

在上一问条件下，若 $g$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，证明 $\{g(f_n(x))\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g(f(x))$⁠。