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在二阶实矩阵空间中，标准基为 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$⁠，另一基为 $B_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B_{12}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),B_{22}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$ ...

已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 3& -1\end{array}\right).$ 分别在有理数域和复数域上讨论 $A$ 是否可对角化。

令 $A=f(J)=aI+bJ$⁠。判断 $A$ 是否相似于对角矩阵；若能，给出可逆矩阵 $P$ 及对角矩阵。

设 $f(x)=a+bx$⁠，$\alpha =(1,\dots ,1{)}^T$⁠、$\beta =(-1,\dots ,-1{)}^T$⁠，令 $J=\beta {\alpha }^T$⁠。求 $J$ 的全部特征值与特征向量。

若上述二次型经正交线性替换可化为标准形 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$⁠，求 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$⁠。

设 $f=(x_1+{\lambda }_1{x}_2{)}^2+(x_2+{\lambda }_2{x}_3{)}^2+(x_3+{\lambda }_3{x}_1{)}^2.$ 求 $f$ 正定的充要条件。

计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\det \left(\begin{array}{ccccc}x& a& a& \cdots & a\\ b& x& a& \cdots & a\\ b& b& x& \cdots & a\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \cdots & x\end{array}\right).$

讨论何时向量组 (I) 能由 (II) 线性表示，但 (II) 不能由 (I) 线性表示。

给定向量组 $\text{(I)}:{\alpha }_1=(1,0,2{)}^T,{\alpha }_2=(1,1,3{)}^T,{\alpha }_3=(1,-1,a+2{)}^T,$ $\text{(II)}:{\beta }_1=(1,2,a+3{)}^T,{\beta }_2=(2,1,a+b{)}^T,{\beta }_3=(2,2,a+2{)}^T.$ ...

设 $f:[a,b]\to [a,b]$⁠，且存在 $L\in (0,1)$ 使 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|.$ 任取 $x_0\in [a,b]$⁠，令 $x_n=f(x_{n-1})$⁠。证明 $x_n\to \xi \in [a,b]$⁠，且 $f(\xi )=\xi$⁠。

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上连续的单调递增函数，证明 ${\int }_a^{b}xf(x)dx\ge \frac{a+b}{2}{\int }_a^{b}f(x)dx.$

讨论级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }(-1{)}^{i-1}\frac{1}{i}$ 的绝对收敛性与条件收敛性。