数学分析

设$a_n\ge 0$⁠，记$S_n^{(p)}={\sum }_{k=1}^n{a}_k^p$⁠，且有 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n^{(p)}}{n^p}=L\ge 0$ 证明： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n^{(q)}}{n^q}=0$ 其中$q>p>0$.

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $(X,\mathcal{F},\mu )$ 为有限测度空间。证明：$f_k\to 0$ 依测度收敛，当且仅当 ${\int }_X\frac{f_k^2}{1+f_k^2}\mathrm{d}\mu ⟶0$ 。

需要 Lv.3 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导且有界，并且对每个 $x\in \mathbb{R}$ 都有 $|f^{\prime }(x)|<1$⁠。判断并证明：是否必存在常数 $M<1$⁠，使得对一切 $x\in \mathbb{R}$⁠， $|f(x)-f(0)|\le M|x|$

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

设 $a_n>0$⁠，且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}=2$ 判断并证明是否有 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1^2+\cdots +a_n^2}{n^2}=0$

设 $q>0$⁠，判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)}^q}$ 的敛散性。

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$⁠、$f(1)=1$⁠。证明：对任意正数 $\lambda ,m$⁠，存在两个不同的点 $\xi ,\eta \in (0,1)$⁠，使得 $\frac{\lambda }{f^{\prime }(\xi )}+\frac{m}{f^{\prime }(\eta )}=\lambda +m$ 。

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能

(10 分)【仅限数学专业】设 $f(x)\in L^1(\mathbb{R})$⁠，正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。证明： ${\lim }_{n\to \infty }f\left(\frac{x}{a_n}\right)=0,\text{a.e. }x\in \mathbb{R}.$

(10 分)若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，其中 $a_n>0$⁠，$0<\alpha ,\beta <1$⁠，$\alpha +\beta >1$⁠，证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n^{\alpha }}{n^{\beta }}$ 收敛。

(10 分)若 $f(x)\in C^2[0,1]$⁠，$f^{\prime }(0)=0$⁠，$|f^{\prime \prime }(x)|\le |f(x)-f(0)|$⁠。证明：$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为常值函数。

(10 分)若 $f\in C^1[a,b]$⁠，$f(a)=0$⁠。证明： ${\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x\le \frac{(b-a{)}^2}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^2\mathrm{d}x-\frac{1}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^2(x-a{)}^2\mathrm{d}x.$

(10 分)已知 $f(x)\in C[a,b]$⁠，且有 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x=0.$ 证明：在 $(a,b)$ 上至少存在两点 $x_1,x_2$⁠，使得 $f(x_1)=f(x_2)=0$⁠。

设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty )$ 上的正值连续函数，且 ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x<+\infty .$ 证明： ${\lim }_{A\to +\infty }\frac{1}{A^2}{\int }_0^{A}f(x)\mathrm{d}x=+\infty .$

需要 Lv.2 才能查看参考答案并使用学习功能