高等代数

【命题辨析 / 找反例】回忆材料中的原命题为：设 $G$ 是有限群，$H\le G$⁠，且 $|H|$ 与指数 $[G:H]$ 互素，则 $H⊴G$⁠。 判断该命题是否成立；若不成立，请给出反例并验证全部条件。

设线性变换 $\phi$ 的最小多项式为 $m_{\phi }(x)=(x-2{)}^2(x-1)$ 。 判断并证明是否有 $V=\ker (I_V-\phi )\oplus \ker ((2I_V-\phi {)}^2)$ 。

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠。证明：存在可逆矩阵 $S$ 和对称矩阵 $T$⁠，使得 $A=ST$⁠。

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设 $A$ 为三阶矩阵，$E$ 为三阶单位矩阵，求 $|A+3E|$⁠。分别讨论： (1)$|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=0$⁠； (2)$|A-E|=|A-2E|=|A+2E|=2$⁠。

(10 分)【仅限数学专业】求 $\mathbb{R}$ 上的自同构群。

(10 分)设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\phi :V\to V$ 满足 ${\phi }^n=0$⁠，${\phi }^{n-1}\ne 0$⁠。证明： (1)存在 $\alpha \in V$⁠，使得 $\alpha ,\phi (\alpha ),\dots ,{\phi }^{n-1}(\alpha )$...

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(15 分)若 $A$ 为 3 阶方阵，满足 $|A|=18$⁠，$3A+A^{\ast }=15I_3$⁠。 (1)求 $A$ 的极小多项式。 (2)求 $A$ 的 Jordan 标准型。

(15 分)设矩阵 $A\in {\mathbb{K}}^{m\times s}$⁠，$B\in {\mathbb{K}}^{s\times n}$⁠，$r(B)=s$⁠。证明： (1)存在 $C\in {\mathbb{K}}^{n\times s}$⁠，使得 $BC=I_s$⁠。 (2)$r(AB)=r(A)$⁠。

证明：任何实可逆矩阵都可以分解为一个正定矩阵和一个正交矩阵的乘积。

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设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_1,V_2$ 是 $V$ 的两个子空间，且 $\dim V_1=\dim V_2$⁠。证明：存在 $V$ 的一个子空间 $W$⁠，使得 $V=V_1\oplus W=V_2\oplus W.$

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，多项式 $f(x),g(x)\in \mathbb{C}[x]$⁠，且 $(f(x),g(x))=1$⁠。证明： $\mathrm{rank}f(A)+\mathrm{rank}g(A)-\mathrm{rank}(f(A)g(A))=n.$

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设 $10$ 阶方阵 $A$ 的每行元素之和均为 $4$⁠，并且 $|A-2I_{10}|=0,r(A)=2,$ 求 $|A+I_{10}|$ 的值。

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