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计算 ${\int }_0^{\pi /2}{e}^x\sin xdx$⁠。

求 $\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$⁠。

计算 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$⁠。

计算 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\pi -2\arctan x)\ln x$⁠。

设非负函数 $f,g$ 定义在同一非空集合上，证明 $(\inf f)(\inf g)\le \inf (fg).$

叙述集合 $D$ 的下确界 $\inf D$ 的定义。

设 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-x},E(x)={\prod }_{n=1}^{\infty }\frac{p_n^x}{p_n^x-1},x>1,$ 其中 $p_n$ 为素数序列。证明二者收敛且 $\zeta (x)=E(x)$⁠。

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将 $f(x)=x^2$ 在 $[0,2\pi ]$ 上展开为 Fourier 级数。

叙述并证明 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 存在且有限的 Cauchy 收敛准则。

讨论 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-\alpha x}\sin xdx$ 关于 $\alpha$ 在(i)$\alpha \ge {\alpha }_0>0$⁠；(ii)$\alpha >0$ 上的一致收敛性。

若 $S$ 为光滑封闭曲面，$l$ 为任意非零常向量，证明 ${\iint }_S\cos (\widehat{n,l})d\sigma =0,$ 其中 $n$ 是外法线单位向量。

计算 $I={\iiint }_{\Omega }(x+y+z{)}^{2}dV,$ 其中 $\Omega$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=3$ 与抛物面 $2z=x^2+y^2$ 围成的有限区域。

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