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设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1-a& a& 0\\ -a& 1+a& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$ 针对参数 $a,b$ 的不同取值，分别求 $A$ 的不变因子和初等因子。

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设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$b$ 为 $m$ 维列向量。 (1)若存在 $n\times m$ 矩阵 $B$⁠，使 $BA=E_n$⁠，则线性方程组 $Ax=b$ 有何结论？说明理由。 (2)若存在 $n\times m$ 矩阵 $B$⁠，使 $AB=E_m$⁠，则线性方程组 $Ax=b$...

设 $A$ 为三阶方阵，$E$ 为三阶单位阵。 (1)若 $|E-A|=|-E-A|=|2E-A|=0,$ 求 $|3E-A|$⁠。 (2)若 $|E-A|=1,|-E-A|=-1,|2E-A|=2,$ 求 $|3E-A|$⁠。

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(BX{)}^T(BX),$ 其中 $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),$ 且 \(a\in\mathbb...

设数域 $P$ 上的向量空间 $V=P^4$⁠，并设 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right),$ ...

(1)叙述 ${\mathbb{R}}^n$ 上的有限覆盖定理。 (2)设函数 $f$ 定义在 $[a,b]$ 上，并且对任意 $x_0\in [a,b]$⁠， ${\lim }_{x\to x_0,x\ne x_0}f(x)=0.$ 证明 $f$ Riemann 可积，且 ${\int }_a^{b}f(x)dx=0.$

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设 $f(x,y)$ 在区域 $D=(0,1)\times (0,1)$ 内分别关于 $x$ 和 $y$ 连续，并且对固定的 $x$⁠，$f(x,y)$ 关于 $y$ 单调。证明 $f$ 在 $D$ 内联合连续。

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设正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散，以 $S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ 表示前 $n$ 项和。证明： (1)$\sum a_n/S_n$ 发散； (2)$\sum a_n/S_n^2$ 收敛。

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设 $f_n(x)=n^{\alpha }x{e}^{-nx},x\in [0,1].$ (1)当 $\alpha$ 取何值时， ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1{f}_n(x)dx={\int }_0^1{\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)dx?$ (2)当 $\alpha$ 取何值时，...

设 $D=\{(x,y):0<x<1,0<y<+\infty \}.$ 证明对任意 $(x,y)\in D$⁠， $y{x}^y(1-x)<e^{-1}.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0,f\left(\frac{1}{2}\right)=1.$ 证明存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f^{\prime }(\xi )=1$⁠。

(1)求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos x}{{\int }_0^x\frac{\ln (1+xy)}{y}dy}.$ (2)计算含参反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (xy)}{y{e}^y}dy.$