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已知 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，并满足 ${\int }_a^b{x}^{i}f(x)dx=0,i=0,1,2.$ 证明存在三个不同的 $x_1,x_2,x_3\in (a,b)$⁠，使 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$⁠。

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设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上二阶可微，$f(x)>0$⁠，且 $M={\sup }_{x\in \mathbb{R}}|f^{\prime \prime }(x)|<+\infty .$ 证明 $[f^{\prime }(x){]}^2\le 2Mf(x),x\in \mathbb{R}.$

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已知 $p,q>0$ 且 $1/p+1/q=1$⁠。证明对任意正数 $x_1,x_2$⁠， $x_1^{1/p}{x}_2^{1/q}\le \frac{x_1}{p}+\frac{x_2}{q}.$

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已知 $\phi (t)={\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+tx)}{x(1+x)}dx,$ 求 $\phi (1)$⁠。

设 $\Sigma$ 是曲线 $y=\sqrt{x}$($0\le x\le 1$)绕 $x$ 轴旋转形成的曲面，法向量与 $x$ 轴正方向成钝角。求 $I={\iint }_{\Sigma }2(x+y)dydz+yzdxdy.$

区域 $D$ 由 $x=0$⁠、$y=\pi /2$⁠、$x=y^2$ 围成，求 ${\iint }_D\frac{\sin y}{y}dxdy.$

设 $I_n={\int }_0^{\pi /4}(\sin x{)}^n\cos xdx,$ 求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{I}_n$⁠。

已知 $\sin (xy)+2y^2=1,$ 求 $dy/dx$⁠。

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\cos \frac{\pi }{2^2}\cos \frac{\pi }{2^3}\cdots \cos \frac{\pi }{2^n}.$

复数域上全体二元二次型构成空间 $V=\{c_0{x}^2+c_{1}xy+c_2{y}^2\}.$ 给定 $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$⁠，定义 ${\phi }_M(q)(x,y)=q(ax+by,cx+dy).$ 1. 证明 ${\phi }_M$ 有特征值 $\det M$⁠；并在 $M=J_2(\mu )$...

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设 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 是正惯性指数为 $1$ 的实对称矩阵，定义 $f(u,v)=u^{T}Av$⁠。若 $u$ 满足 $f(u,u)>0$⁠，证明对任意 $v$⁠， $f(u,u)f(v,v)\le f(u,v{)}^2,$ 并证明等号成立当且仅当存在 $r\in \mathbb{R}$⁠，使...

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$ 满足 $A^n=0$⁠，但 $A^{n-1}\ne 0$($n\ge 2$)。证明不存在 $B\in M_n(\mathbb{C})$ 使 $A=B^2$⁠。

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