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求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x^2{)}^3-{\cos }^{2}x}{\tan (x^2)}.$

设 $A,B$ 都是 $3\times 3$ 复矩阵。 1. 若 $AB-BA=A$⁠，证明 $A$ 是幂零矩阵； 2. 定义 $\tau :M_{3\times 3}(\mathbb{C})\to M_{3\times 3}(\mathbb{C}),C\mapsto AC-CA.$ 其中 $A$ 满足 $AB-BA=A$⁠，证明 $\tau$...

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设 $V$ 是实数域上的 $6$ 维线性空间，$\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f(x)=(x^2+2)(x^2+3)(x^2+5)$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征多项式。证明 $V$ 可表示为三个 $\mathcal{A}$-不变子空间的直和。

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已知 $n\times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -1\\ 2& 0& \cdots & 0& -2\\ 0& 2& \ddots & 0& -3\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& 2& -n\end{array}\right).$ 问 $A$ 是否可逆；若可逆，求...

已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& \frac{a}{2}& -\frac{3}{2}\\ 0& a& 21\\ 1& \frac{3}{14}& 5\end{array}\right)$ 的特征多项式有重根，问 $A$ 是否可对角化。

设 $A$ 为 $n\times n$ 实对称三对角矩阵，主对角元依次为 $2,4,6,\dots ,2n$⁠，相邻两条副对角线元素均为 $1$⁠。 1. 若 $AB=BA$⁠，证明 $B$ 可对角化； 2. 令 $C(A)=\{B:AB=BA\}$⁠，求 $\dim C(A)$⁠。

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已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 8& 5\\ 0& 2& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right),$ 线性变换 $\sigma :M_{3\times 3}(\mathbb{R})\to M_{3\times 3}(\mathbb{R}),B\mapsto AB.$ 1. 求 $\ker \sigma$ 的一组基； 2. 求...

设 $A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$⁠，线性泛函 $f:M_{3\times 3}(\mathbb{R})\to \mathbb{R},A\mapsto 7a_{23}.$ 是否存在 $3\times 3$ 矩阵 $B$⁠，使对任意 $A$ 有 $f(A)=\mathrm{tr}(A{B}^T)?$

已知复矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 13& 0& 0\\ 1& 15& 0\end{array}\right).$ 证明不存在三阶复矩阵 $X$ 使 $X^2=A$⁠。

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求参数 $(a,b)$ 的两个区域，使 $f_{a,b}(x,y)=a{y}^2+bx$ 在约束 $x^2+y^2=1$ 下分别有两个和四个临界点。

已知 $f(x,y)$ 在 $x^2+y^2<1$ 上三阶连续可导，且 $f(0,0)=0$⁠。证明存在二阶连续可微函数 $g_1,g_2$⁠，使 $f(x,y)=x{g}_1(x,y)+y{g}_2(x,y).$

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若 $\alpha >0$⁠，判断函数项级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-nx}$ 在 $(0,+\infty )$ 上是否一致收敛。

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