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设 ${\alpha }_1=(a,2,10{)}^T,{\alpha }_2=(-2,1,5{)}^T,{\alpha }_3=(-1,1,4{)}^T,\beta =(1,b,2{)}^T.$ 分别求 $a,b$ 满足何种条件时： 1. $\beta$ 不能表示为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的线性组合；...

计算行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 2021& 2022& 2023& 2024& 2025\\ 2021^2& 2022^2& 2023^2& 2024^2& 2025^2\\ 2021^3& 2022^3& 2023^3& 2024^3& 2025^3\\ 2021^5& 2022^5& 2023^5& 2024^5& 2025^5\end{array}\right|.$ ...

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对常数 $a>0$⁠，记 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le a^2\}.$ 设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，且 $f=0$ 于 $\partial D$⁠。证明...

设函数 $f\in C(0,+\infty )$ 满足 $x=f(x)5^{f(x)}.$ 证明： 1. $f(x)$ 单调递增； 2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$⁠； 3....

设 $x_1=1,x_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{n+1}+x_n}(n\ge 1).$ 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛并求其极限。

用 $\epsilon -N$ 语言证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}}=0.$

设 $a,b,c$ 为正常数，$S$ 为单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧，计算第二类曲面积分 $I={\iint }_S\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2{)}^{3/2}}.$

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求积分 $I={\oint }_C(x+y{)}^{2}dx-(x^2+y^2)dy,$ 其中 $C$ 是按 $A(1,1)\to B(2,5)\to C(3,2)\to A(1,1)$ 方向围成的三角形边界。

求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}.$

设 $\alpha >0$⁠，求极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\left[(x+1{)}^{\alpha }-x^{\alpha }-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right].$

设 $\beta >0,\alpha >1$ 为常数，计算 $I={\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+\beta x^{\alpha }}.$

讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{\int }_0^{\pi /n}\frac{\sin x}{1+x^{2024}}dx$ 的敛散性。