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1. 对级数 $\sum a_n$⁠，若任意子列所成子级数 $\sum a_{n_k}$ 都收敛，是否可推出 $\sum a_n$ 绝对收敛？ 2. 若对任意正整数 $i,j$⁠，级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_{i+nj}$ 都收敛，是否可推出 $\sum a_n$ 绝对收敛？

设 $f$ 定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上，且在任意有限区间上可积，并满足 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(x)|dx<\infty .$ 证明 $F(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cos (2\pi tx)dt$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。

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设 $\{f_n(x)\}$ 为 $[a,b]$ 上连续函数列，且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致收敛。 1. 证明级数在 $x=a$ 处收敛； 2. 证明级数在 $[a,b]$ 上一致连续。

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1. $f$ 定义在 $(a,b)$ 上，若对任意 $x_0\in (a,b)$⁠，${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在。任取 $(a,b)$ 中 Cauchy 列 $\{a_n\}$⁠，是否必有 $\{f(a_n)\}$ 为 Cauchy 列？ 2. 若对 $(a,b)$ 中任意 Cauchy 列 $\{a_n\}$⁠，$\{f(a_n)\}$ 也为...

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计算第二型曲面积分 ${\iint }_S\frac{a^{2}xdydz+(z+a{)}^{2}dxdy}{(x^2+y^2+z^2{)}^2},$ 其中 $S$ 为下半球面 $z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$⁠，取上侧。

由柱面坐标表示的曲面 $z=z(r,\theta )$⁠，其上任意光滑曲线的弧长微分满足 $d{s}^2=\underline{}d{r}^2+\underline{}drd\theta +\underline{}d{\theta }^2.$

求幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{n^2+1}{n!2^n}{x}^n$ 的和函数。

指出 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{\sin nx}{n}$ 在 $(-\pi ,\pi )$ 上是谁的 Fourier 级数。

求极限 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(\cos \frac{a}{x}\right)}^{x^2}.$

计算 ${\int }_0^{\pi }\frac{x{\sin }^{2}x}{1+{\cos }^{2}x}dx.$

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{2}{3}\right)\cdots \left(1+\frac{n-1}{n}\right)}.$

设 $V,W$ 为有限或无限维线性空间，$V^{\prime },W^{\prime }$ 为对偶空间，$T\in L(V,W)$⁠，$T^{\prime }\in L(W^{\prime },V^{\prime })$⁠。证明：$T$ 满射的充要条件是 $T^{\prime }$ 单射。

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