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证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^2{e}^{-nx}$ 在 $(0,+\infty )$ 上非一致收敛，在 $[1,+\infty )$ 上一致收敛。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x+y{)}^2\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 讨论 $f$ 及其偏导数在 $(0,0)$ 处的连续性，并讨论 $f$ 在 $(0,0)$ 处的可微性。

叙述闭区间套定理，并用该定理证明闭区间上的连续函数可达到最大值。

设 $f$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，且对任意 $x\in (0,1)$⁠，右导数 $f_{+}^{\prime }(x)$ 存在。若 $f(0)=f(1)$⁠，证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f_{+}^{\prime }(\xi )\le 0.$

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设 $\{a_n\}$ 为非负递减数列，且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。证明 ${\lim }_{n\to \infty }n{a}_n=0.$

计算： 1. $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(\arctan \frac{2024}{n}-\arctan \frac{2024}{n+1}\right)$⁠； 2. $z=z(x,y)$ 由 $f(z-x,z-y)=0$ 确定，$f(u,v)$ 有一阶偏导数且 $f_u+f_v\ne 0$⁠，求...

设 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中三个非零且两两正交的向量，令 $A=\alpha {\beta }^T+\beta {\gamma }^T+\gamma {\alpha }^T.$ 1. 证明 $\mathrm{rank}A=3$⁠； 2. 判断 $A$ 是否可相似对角化并证明。

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设 $A$ 为实方阵，$A+A^T$ 为正定矩阵，但 $A\ne A^T$⁠。证明 $\det (A+A^T)<\det (2A).$

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设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}B$⁠。证明 $A^{2}B=A$ 的充要条件是 $B^{2}A=B.$

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设 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵。证明：若存在复可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP=B,$ 则存在实可逆矩阵 $Q$ 使 $Q^{-1}AQ=B.$

对二阶矩阵 $A,B_1,B_2,B_3,B_4$⁠，其中 $A\ne O$⁠。若 $\det (A+B_i)=\det A+\det B_i,i=1,2,3,4,$ 证明 $B_1,B_2,B_3,B_4$ 线性相关。

设 $A,B,C,D$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $C{D}^T=D{C}^T.$ 证明 $\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\det (A{D}^T-B{C}^T).$

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