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设线性映射 $\mathcal{T}:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ 的矩阵为 $M=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -1\\ 3& 1& 1& -3\\ 1& 5& -5& -1\end{array}\right).$ 令 $V,W$ 分别为 ${\mathbb{R}}^4,{\mathbb{R}}^3$ 的对偶空间，定义...

证明：欧氏空间中长度相同的两个向量之间，存在正交变换把一个向量映成另一个向量。

求多项式矩阵 $P(\lambda ),Q(\lambda )$⁠，使 $P(\lambda )A(\lambda )Q(\lambda )=\mathrm{diag}\{1,\lambda -1,(\lambda -1{)}^2\},$ 其中...

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设 $V$ 为四维复线性空间，$\phi$ 为 $V$ 上可逆线性变换，且 $\mathrm{tr}({\phi }^i)=0,i=1,2,3.$ 证明 $\phi$ 可对角化。

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设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵。若 $A+A^T$ 正定，证明 $A$ 可逆。

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵。证明存在对称矩阵 $S$ 和可逆矩阵 $R$⁠，使 $A=SR.$

设 $A=(a_{ij})$ 为 $(n-1)\times n$ 矩阵，$c_i$ 为删去第 $i$ 列所得矩阵的行列式，并令 $b_i=(-1{)}^i{c}_i,\eta =(b_1,\dots ,b_n{)}^T.$ 证明：$\eta$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系的充要条件是...

记 $a_{ii}=i^3+3i^2+2i,$ 且当 $i<j$ 时 $a_{ij}=3(i-j)+1$⁠，当 $i>j$ 时 $a_{ij}=3(i+j)+2$⁠。证明 $2025$ 阶行列式 $\det (a_{ij})$ 为 $3$ 的整数倍。

设实系数首一多项式 $f(x)$ 在实数上的值处处非负。证明存在实系数多项式 $g(x),h(x)$⁠，使 $f(x)=g(x{)}^2+h(x{)}^2.$

对任意实数 $x$ 与正整数 $n$⁠，令 ${\phi }_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi }}{e}^{-n^2{x}^2}.$ 证明：对任意在实轴上连续且有界的函数 $f$⁠，有 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(y){\phi }_n(x-y)dy=f(x).$

设 $\{r_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 为全体有理数的一一枚举，定义 $f(x)={\sum }_{n:r_n<x}\frac{1}{2^n}.$ 证明：$f$ 在无理点连续，在有理点间断，且严格单调递增。

证明：函数 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充要条件是，对任意 $(0,1)$ 中的 Cauchy 列 $\{x_n\}$⁠，$\{f(x_n)\}$ 也是 Cauchy 列。