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设 $A,B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，且 $AB=BA$⁠。证明 $AB$ 也正定。

设 $\mathcal{A}$ 为欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W\subseteq V$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间。证明 $W^{\perp }$ 也是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间。

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵。证明 $AB$ 与 $BA$ 有相同的特征多项式。

已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^3=0$⁠。证明 $E+A+\frac{A^2}{2}$ 可逆。

设 $A$ 是实反对称矩阵。证明 $E+A$ 可逆，并且 $Q=(E-A)(E+A{)}^{-1}$ 是行列式为 $1$ 的正交矩阵。

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$ 的秩为 $r$⁠。任取其中 $t$ 个向量 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\dots ,{\alpha }_{i_t},$ 证明该子向量组的秩不小于 $r-s+t.$

设 $f(x)$ 是首项系数为 $1$ 的 $n$ 次多项式，且 $f(1)=0$⁠。若 $f^{\prime }(x)\mid f(x),$ 证明 $f(x)=(x-1{)}^n.$

设二次型 $f(x,y,z)=x^2+t{y}^2+z^2+2xy-2txz-2yz$ 的正、负惯性指数都为 $1$⁠，求 $t$⁠。

讨论非齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}k{x}_1+x_2+x_3=k,\\ x_1+k{x}_2+x_3=1,\\ x_1+x_2+k{x}_3=k\end{array}$ 何时有唯一解、无穷多解或无解；并在有无穷多解时求通解。

求行列式 $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& \cdots & 1\\ 1& 3& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & n+1\end{array}\right|.$

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt(x\ge 0).$ 证明 $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime }(0)$⁠。

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续非负，并且对任意 $x,y>0$⁠，有 $f(x+y)\le f(x)+f(y).$ 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}$ 存在且有限。

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