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证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)$ 条件收敛。

证明 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上连续可微。

设 $\phi (x)={\int }_{\sin x}^{\cos x}{e}^{t^2+xt}dt,$ 求 ${\phi }^{\prime }(0)$⁠。

将 $f(x,y)=\frac{\cos x}{\cos y}$ 在 $(0,0)$ 展开为二阶 Maclaurin 多项式。

设 $A,B$ 均为数域 $\mathbb{P}$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵，满足 $r(I-AB)+r(I+BA)=n.$ 设 $S_1,S_2$ 分别为 $(I-AB)X=0$ 与 $(I+AB)X=0$ 的解空间。证明： (1) $r(I+BA)=r(I+AB)$⁠； (2)...

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设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，线性方程组 $AX=\beta$ 有解。证明： (1) 该方程组中线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1;$ (2) 设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$⁠，按重数计算，则 $k\le r(A).$

设 $A$ 是复数域上的 $n\times n$ 矩阵。证明： (1) $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值； (2) $A$ 与 $A^T$ 的特征子空间的维数相同； (3) 存在可逆矩阵 $P$⁠，使得 $PA=A^{T}P.$

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设 $A$ 是实数域上的 $n\times n$ 矩阵。证明： $A^2+A^{T}A=0$ 的充分必要条件是 $A$ 是实反对称矩阵。

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已知实二次型 $f=a{x}_1^2+8x_2^2+a{x}_3^2-4x_1{x}_2-8x_1{x}_3-4x_2{x}_3$ 的符号差为 $2$⁠。 (1) 求 $a$⁠； (2) 用正交线性替换把二次型化为标准形，并写出正交线性替换。

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设 $A$ 是复数域上的方阵，$A$ 的全部初等因子为 $(\lambda -2{)}^2,(\lambda -2{)}^2,(\lambda -2{)}^2,\lambda +3,\lambda +3,(\lambda +2i{)}^2,(\lambda -2i{)}^2.$ (1) 求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式； (2) 求 $A$...

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设 $V$ 是三维欧氏空间，其一组基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的度量矩阵为 $G=\left(\begin{array}{ccc}5& a& 4\\ a& 1& 2\\ 4& 2& 5\end{array}\right).$ (1) 求 $a$ 的取值； (2) 求该欧氏空间的一组标准正交基。

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设 $S_1,S_2$ 分别为齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}x-z-2w=0,\\ y+2z+w=0\end{array}$ 和 $\{\begin{array}{l}3x+6y+z=0,\\ 6x+13y-w=0\end{array}$ 的解空间。 (1) 求两个齐次线性方程组的通解； (2) 求 $S_1+S_2$ 与...