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回答下列问题： 1. 已知 $x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1\mid f_1(x^n)+x{f}_2(x^n)+\cdots +x^{n-1}{f}_n(x^n),$ 证明存在常数 $c$⁠，使 $(x-1{)}^n\mid {\prod }_{i=1}^n(f_i(x)-c).$ 2. 若...

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设 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上连续。对任意 $x\in [0,1]$⁠，数列 $\{f_n(x)\}$ 单调，并且 $f_n(x)$ 点态收敛于连续函数 $f(x)$⁠。证明 $f_n\to f$ 一致收敛。

对 $x\in (-1,1)$⁠，求 $I(x)={\int }_0^{\pi /2}\ln (1-x^2{\cos }^2\theta )d\theta .$

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设曲面 $\Sigma :z=x^2+y^2,0\le z\le 1,$ 方向取上侧。求 ${\iint }_{\Sigma }(x+y)dydz+(y^2+z^2)dzdx+(z^3+x^3)dxdy.$

求椭球面 $\frac{x^2}{3}+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 与平面 $2x+y+z=0$ 相交所得椭圆的面积。

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设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，$f(x)$ 是周期函数，且 $f(x^2)$ 也是周期函数。证明 $f$ 为常值函数。

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设 $f$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，$f(0)>0$⁠、$f(1)<1$⁠。证明存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f(\xi )={\xi }^2.$

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求极限： 1. $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{(2k-1{)}^4}{n^3(n^2+k)}$⁠； 2. $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\tan x}{x}\right)}^{-x^{-2}}$⁠。

回答下列问题： 1. 若数列 $\{x_n\}$ 的任意子列都有收敛到 $0$ 的子列，问 $\{x_n\}$ 是否收敛？说明理由。 2. 若级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，问 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^3$ 是否必收敛？说明理由。

设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_1,V_2$ 是 $V$ 的子空间。 1. 若 $V=V_1\oplus V_2$⁠，证明在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathcal{A}$(${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A}$)，使...

已知 $n$ 阶矩阵 $A,B$ 满足 $AB=A-B.$ 证明： 1. $E+A$ 可逆； 2. $AB=BA$⁠； 3. $A,B$ 的秩相同； 4. 若 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 3& 0& -1\end{array}\right),$ 求 $B$⁠。

设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数。证明存在正交矩阵 $T$⁠，使 $T^{-1}AT$ 为上三角矩阵。

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