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设有界数列 $\{x_n\}$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }(x_{2n}+2x_n)=L$⁠。证明 $\lim x_n$ 存在。

证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ 在任意有限区间 $[-a,a]$ 上一致收敛。

设 $0\le \alpha \le 1$⁠。证明 $f(x)=x^{\alpha }$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续。

计算曲面积分 $I={\iint }_{\Sigma }(xy+yz+xz)dS,$ 其中 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+y^2=2ax$ 所截的部分，$a>0$⁠。

计算 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(n^2-n+1)}{2^n}.$

设 $f(x)={\int }_x^1{e}^{-y^2}dy,$ 求 ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)dx$⁠。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{x}{x+1}-\ln (1+x)}{x^2}.$

若 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交，证明 $A=\alpha {\beta }^T$ 不可对角化。

若 $\alpha$ 与 $\beta$ 不正交，证明 $A=\alpha {\beta }^T$ 可对角化。

设 $A=\alpha {\beta }^T$⁠，其中 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^n$ 非零。证明 $\alpha$ 以及任意与 $\beta$ 正交的非零向量 $\xi$ 都是 $A$ 的特征向量。

在上一问条件下，证明集合 $G$ 有限。

设 $G$ 是复数域上一些 $n$ 阶可逆矩阵的集合，且任意不同的 $A,B\in G$ 都有 $|A+B|=0$⁠。令 $X=[x_{ij}]$ 为变量矩阵，$f_A(X)=|X+A|$⁠。证明 $\{f_A:A\in G\}$ 的任意有限子集线性无关。