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共 16 分。 (1) ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\ln (n+\pi )-\ln n}-\frac{n}{\pi }\right).$ (2)...

判断如下命题是否成立，并说明理由：若实数域上方阵 $A$ 的行向量两两正交，则其列向量也两两正交。

设实数域上方阵 $A=(a_{ij}{)}_{8\times 8}$ 满足 $|a_{ij}|\le 1,i,j=1,2,\dots ,8.$ 求 $|A|$ 的最大值。

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设实数 $a,b,c$ 满足 $a+2b+2c=1.$ 求 $a^2+b^2+c^2$ 的取值范围。

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判断如下命题是否成立，并说明理由：存在不全为零的有理数 $a,b,c,d$⁠，使得 $x^3+6x+1\mid a+b{x}^2+c{x}^4+d{x}^6.$

已知 $AB=2A+3B,$ 且 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& -3\end{array}\right).$ 求矩阵 $B$ 的特征值。

设数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 对应的方阵为 $S$⁠。设 $S$ 的顺序主子式 $d_1,d_2,\dots ,d_n$ 均不为 $0$⁠，其中 $d_i$ 是 $i$ 阶顺序主子式。求 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的标准形。

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设 $A$ 为 $3\times 3$ 矩阵，求满足 $A^2=O$ 的所有矩阵 $A$ 的形式。

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设 $A$ 是实数域上的 $m\times n$ 矩阵，$X$ 是 $n\times m$ 矩阵，$X$ 的元素由独立的未知数构成，且 $m\le n.$ 证明： $AX=E_m$ 有解的充分必要条件是 $\mathrm{rank}(A)=m.$

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计算 $n$ 阶行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}2+a_1+b_1& a_1+b_2& \cdots & a_1+b_n\\ a_2+b_1& 2+a_2+b_2& \cdots & a_2+b_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n+b_1& a_n+b_2& \cdots & 2+a_n+b_n\end{array}\right|.$ ...

试求一个 $7$ 次多项式 $f(x)$⁠，使得 $f(x)+1$ 能被 $(x-1{)}^4$ 整除，且 $f(x)-1$ 能被 $(x+1{)}^4$ 整除。

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计算第二型曲面积分 ${\iint }_{\Sigma }\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(2024x^2+2025y^2+2026z^2{)}^{3/2}},$ 其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧。