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设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathcal{A}$ 存在 $n$ 个不同的特征值。证明：$\mathcal{A}$ 有且仅有 $2^n$ 个不变子空间。

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设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^2=A.$ 证明：$A$ 的秩等于迹。

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设 $\mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明： $\mathrm{Im}{\mathcal{A}}^n=\mathrm{Im}{\mathcal{A}}^{n+1}=\mathrm{Im}{\mathcal{A}}^{n+2}=\cdots .$

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设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-1}$ 为 $V$ 中线性无关的向量，${\beta }_1,{\beta }_2\in V$ 与 ${\alpha }_i,1\le i\le n-1$ 均正交。证明：${\beta }_1,{\beta }_2$ 线性相关。

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设 $a<0$⁠，$X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵。证明 $A=\left(\begin{array}{cc}a& X^{\mathrm{T}}\\ X& B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$⁠。

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证明 $f(x)=3x^4+6x^3-3x+8$ 在有理数域上不可约。

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证明方程组 $AX=\beta$ 有解的充要条件是方程组 $\left(\begin{array}{c}{A}^{\mathrm{T}}\\ {\beta }^{\mathrm{T}}\end{array}\right)Y=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ 无解。

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若矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& & & \\ & 2& 2& & \\ & & 3& \ddots & \\ & & & \ddots & n-1\\ & & & & n\end{array}\right),$ 求它的 Jordan 标准形 $J$⁠。

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用正交线性替换化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=-3x_2^2-3x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3$ 为标准形。

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计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3& x_4\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& x_4^2\\ x_1^4& x_2^4& x_3^4& x_4^4\end{array}\right|.$

设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上非负递减，且 ${\int }_1^{+\infty }{x}^{a}f(x)dx$ 收敛。证明： ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{a+1}f(x)=0.$

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设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的连续函数，定义 $f_n(x)=\frac{1}{a_n}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t){\left(\cos \frac{t-x}{2}\right)}^{2n}dt,x\in \mathbb{R},n=1,2,3,\dots ,$ 其中...

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