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设 f(x)=xn+2025x+3, 其中 n 是大于 1 的整数。证明：f(x) 的全部复根互不相同。
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10 分。设 f(x) 为 [0,1] 上非负且严格单调增加的连续函数。证明：对任意正整数 n，存在唯一的 xn∈[0,1], 使得 (f(xn))n=∫01(f(x))ndx, 且 limn→∞xn=1.
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14 分。设 f(x,y) 在 (x0,y0) 处可微，且 f(x0,y0)=0, g(x,y) 在 (x0,y0) 处连续。证明：f(x,y)g(x,y) 在 (x0,y0) 处可微，且 d(fg)(x0,y0)=g(x0,y0)df(x0,y0).
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12 分。设 f(x) 在 [0,+∞) 上一致连续，且对任意固定的 x∈[0,+∞), 当自然数 n→+∞ 时，有 f(x+n)→0. 证明：函数列 {f(x+n)}n=1∞ 在 [0,1] 上一致收敛于 0。
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12 分。设 f:[0,+∞)→[0,+∞) 连续，且 limx→+∞f(x)∫0xf(t)dt=a∈(0,+∞). 证明： limx→+∞xf(x) 存在且为正。
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12 分。证明：方程 ex=x2+5x+1 的实根不超过 3 个。
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13 分。判断积分 ∫1+∞x3sin(xq)dx,q=0 的敛散性，包括绝对收敛、条件收敛和发散。
13 分。求幂级数 ∑n=0∞(−1)n(n+1)(n+3)xn+3 的收敛域与和函数。
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12 分。计算 ∬Σ(x2+y2+z2)3/2xdydz+ydzdx+zdxdy. 其中 Σ:1−3z=25(x−2)2+16(y−1)2,z≥0, 方向取上侧。
12 分。计算 ∫L(x−y)dx+z3dz. 其中 L 是 x2+y2+z2=1 与 z=c,∣c∣<1 的交线，从 z 轴的正向往负向看去是逆时针方向。
12 分。要做一个容量为 1m3 的无盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使材料最省？
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