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计算极限 ${\lim }_{R\to +\infty }{\iint }_{|x|<R,|y|<R}(x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}dxdy.$

设函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+xy)}{x},& x\ne 0,\\ y,& x=0.\end{array}$ 证明 $f(x,y)$ 在其定义域上是连续的。

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证明 Riemann $\zeta$ 函数 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^x}$ 在 $(1,+\infty )$ 内连续、可微，并判断它是否一致连续。

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讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=\frac{1}{1^p}-\frac{1}{2^q}+\frac{1}{3^p}-\frac{1}{4^q}+\cdots +\frac{1}{(2n-1{)}^p}-\frac{1}{(2n{)}^q}+\cdots ,p>0,q>0,$ 的绝对收敛与条件收敛性。

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设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上可微，对某点 $\alpha \in \mathbb{R}$ 使得 $f(\alpha )=0,$ 且满足 $|f^{\prime }(x)|\le |f(x)|,x\in \mathbb{R}.$ 证明：...

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设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，记 $A_n={\int }_0^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right).$ 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }n{A}_n.$

设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可微，且 ${\lim }_{x\to 0}{\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}^{1/x}=e^3.$ 求 $f(0),f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0)$ 以及...

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(1) 证明：如果函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x\in [a,b],$ 存在 ${\delta }_x>0$ 与 $M_x>0$⁠，使得 $|f(t)|<M_x,\forall t\in (x-{\delta }_x,x+{\delta }_x)\cap [a,b],$ 则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。 (2)...

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判断下列命题的正误： (1) 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 与 $(b,c)$ 上一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a,b)\cup (b,c)$ 上一致连续。 (2) 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且存在 $c\in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(c)>0,$ 则存在...

设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\mathrm{Hom}(V)$ 表示 $V$ 上所有线性变换构成的线性空间。任取 $\mathcal{A}\in \mathrm{Hom}(V).$ (1) 令...

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设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n},a_{ij}=\min \{i,j\},1\le i,j\le n.$ (1) 计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式。 (2) 证明：$A$ 正定。

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设 $A,B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。证明：存在多项式 $f(x)$⁠，使得 $f(A)=A^{-1},f(B)=B^{-1}.$

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