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判断 $P^{2\times 2}=W_1\oplus W_2$ 是否成立，并说明理由。

在上一问条件下，求 $W_1\cap W_2$ 的一组基与维数。

在 $P^{2\times 2}$ 中，令 $A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),$ ...

举反例说明：对复矩阵 $A$⁠，结论 $\mathrm{rank}(A^{T}A)=\mathrm{rank}(A)$ 不一定成立，并且方程 $A^{T}AX=A^{T}b$ 不一定有解。

设 $A$ 为 $m\times n$ 实矩阵，$b$ 为 $m\times 1$ 实列向量。证明线性方程组 $A^{T}AX=A^{T}b$ 有解。

设 $A$ 为 $m\times n$ 实矩阵。证明 $\mathrm{rank}(A^{T}A)=\mathrm{rank}(A).$

计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\det {\left(\frac{1-a_i^n{b}_j^n}{1-a_i{b}_j}\right)}_{1\le i,j\le n}.$

设 $n$ 阶行列式 $D=\det (a_{ij}),a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i\ge j,\\ -1,& i<j.\end{array}$ 求 $D$ 的 Leibniz 展开式中正项的总数。

任意给定 $k$($k>1$)个两两不等的素数 $a_1,a_2,\dots ,a_k$⁠。证明：对任意正整数 $n>1$⁠， $\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_k}$ 是无理数。

若 $f$ 是 $[0,+\infty )$ 上的单调连续函数，且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0,$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^{+\infty }f(x)\sin (nx)dx=0.$

设 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ 一阶连续可导，且对任意 $x,y\in (0,1)$⁠，有 $|f(x)-f(y)|\le |x-y{|}^2.$ 证明 $f$ 恒为常数。

判断上题函数在 $(0,0)$ 处是否可微，并详细说明。