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求上一问子空间 $S$ 的正交补 $S^{\perp }$ 的维数。

在上一问空间中，求子空间 $S=\{A\in V:\mathrm{tr}(A)=0\}$ 的维数。

设 $V$ 是实数域上所有 $n$ 阶对称矩阵构成的线性空间。对 $A,B\in V$⁠，定义 $(A,B)=\mathrm{tr}(AB).$ 证明 $V$ 构成欧氏空间。

求上一问矩阵 $A$ 的最小多项式。

对上一问矩阵，求可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP=J.$

设数域 $P$ 上的矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 3\\ -2& -6& 13\\ -1& -4& 8\end{array}\right).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形。

在上一问条件下，设 $\tau$ 是 $V$ 上另一线性变换。证明：$\mathrm{Im}\sigma$ 与 $\ker \sigma$ 都是 $\tau$ 的不变子空间，当且仅当 $\sigma \tau =\tau \sigma .$

设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 ${\sigma }^2=\sigma$⁠。证明 $V=\mathrm{Im}\sigma \oplus \ker \sigma .$

设 $A$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。证明 $|A+2024E|\ge 2024^n,$ 并且等号成立当且仅当 $A=O$⁠。

若全排列为 $j_1{j}_2\cdots j_n=23\cdots n1,$ 证明相应的线性变换 $\phi$ 可对角化。

证明：存在正整数 $k$⁠，使对 $\phi$ 的任意特征值 $\lambda$⁠，都有 ${\lambda }^k=1.$

给定 $1,2,\dots ,n$ 的一个全排列 $j_1{j}_2\cdots j_n$⁠。在线性空间 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上定义线性变换 $\phi$⁠：把矩阵的列依次重排为第 $j_1,j_2,\dots ,j_n$ 列。试确定 $\phi$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。

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