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设 $f(t)$ 在 $t\ne 0$ 时一阶连续可导，且 $f(1)=0$⁠。求 $f(x^2+y^2)$⁠，使曲线积分 ${\int }_{L}y\left(2-f(x^2+y^2)\right)dx+xf(x^2+y^2)dy$ 与路径无关，其中 $L$ 为不经过原点的光滑曲线。

已知 $z=u(x,y)e^{ax+by},$ 其中 $u$ 具有二阶偏导数，且 $u_{xy}=0$⁠。确定常数 $a,b$⁠，使 $z$ 满足 $z_{xy}+2z_x+3z_y+6z=0.$

在上一问条件下，证明：在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$⁠，使 $\frac{f(\xi )}{g(\xi )}=\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{g^{\prime \prime }(\xi )}.$

设函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime }(x)\ne 0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0.$ 证明：在 $(a,b)$ 内 $g(x)\ne 0$⁠。

判别级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a^{n}n!}{n^n},a>0,$ 的敛散性。

按极限定义证明 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x(x-1)}{x^2-1}=\frac{1}{2}.$

曲线 $y={\int }_0^x\tan tdt,0\le x\le \frac{\pi }{4}$ 的弧长为多少？

设 $f(x,y)={\int }_0^{xy}{e}^{x{t}^2}dt.$ 计算 ${\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}|}_{(1,1)}.$

求曲面 $z=x+2y+\ln (1+x^2+y^2)$ 在 $(0,0,0)$ 处的切平面方程。

计算不定积分 $\int \frac{dx}{2e^{-x}+e^x+2}.$

设 $f(x)=\{\begin{array}{llc}{e}^{ax},& x\le 0,\text{x}-b{)}^3,& x>0.\end{array}$ 若 \(f 在 $x=0$ 处可导，求 $a,b$⁠。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right).$