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设 $u_n(x)=\frac{\ln (1+n^{\alpha }x)}{n^{\beta }},x>0,\alpha ,\beta >0.$ 1. 讨论 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的敛散性； 2. 在级数收敛的条件下讨论其一致收敛性； 3. 讨论和函数的可导性。

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设 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续，$g$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续，且 ${\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-g(x)]=0.$ 证明 $g$ 在 $[a,+\infty )$ 上一致连续。

求 $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-2xyz$ 在约束 $x^2+y^2+z^2=4$ 下的最值。

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计算 ${\oint }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+4y^2},$ 其中 $L:(x-1{)}^2+y^2=r^2(r\ne 1)$⁠，取正向。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且 $f(x)\ne 0$⁠。证明存在 $\xi \in (a,b)$⁠，满足 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{f(\xi )}=\frac{1}{a-\xi }+\frac{1}{b-\xi }.$

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x\ln 2}-\frac{1}{2^x-1},& x\ne 0,\\ \frac{1}{2},& x=0.\end{array}$ 求 $f^{\prime }(0)$⁠。

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{n}^2(x-1{)}^n$ 的收敛域与和函数。

求空间曲线 $\{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ x^2+y^2=z^2\end{array}$ 的切线，其中切线平行于平面 $x+2y=0$⁠。

设 $W$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。证明： 1. $\dim \sigma (W)+\dim (\ker \sigma \cap W)=\dim W$⁠； 2....

设 $A,B,C,D$ 为具有相同特征多项式的三阶复矩阵。证明其中必有两个矩阵相似。

证明下列两命题等价： 1. 实方阵 $A$ 是正交矩阵； 2. $\det A=\pm 1$⁠，且当 $\det A=1$ 时，$A$ 的每个元素等于其代数余子式；当 $\det A=-1$ 时，每个元素等于其代数余子式的相反数。

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 实矩阵。证明：若 $\mathrm{rank}B=m$⁠，则 $B^{T}AB$ 为正定矩阵。