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设三维线性空间 $P^3$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 3& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$ 设 $\xi$ 在基...

在 $P^{2\times 2}$ 中给定矩阵 $G_1=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 1\end{array}\right),G_2=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 1& 1\end{array}\right),G_3=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ a& 1\end{array}\right),G_4=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right).$ ...

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已知 $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，其特征值为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=0.$ 向量 ${\alpha }_1=(1,2,2{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(2,1,-2{)}^{\mathrm{T}}$ 分别为特征值...

计算行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+ab& 1+a{b}^2& \cdots & 1+a{b}^n\\ 1+a^{2}b& 1+a^2{b}^2& \cdots & 1+a^2{b}^n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1+a^{n}b& 1+a^n{b}^2& \cdots & 1+a^n{b}^n\end{array}\right|.$

求多项式 $f(x)=4x^4-2x^3-16x^2+5x+9$ 与 $g(x)=2x^3-x^2-5x+4$ 的最大公因式。

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已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty )$ 上可导，且 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=A.$ (1) 若 $A>0$⁠，证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty .$ (2) 若 $A=0$⁠，证明 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=0.$

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已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\cos \frac{1}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0.\end{array}$ (1) 证明：函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。 (2) 证明：函数 $f(x,y)$ 的偏导数在 $(0,0)$...

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设 $a>1$⁠，证明不等式 $2a^{1/2}\le a^x+a^{1-x}\le 1+a,x\in [0,1].$

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设平面上两点 $M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$ 的距离分别定义为 $d_1(M_1,M_2)=\sqrt{|x_2-x_1{|}^2+(y_2-y_1{)}^2},$ $d_2(M_1,M_2)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|.$ 证明：平面点列 $\{(x_n,y_n)\}$ 按距离...

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设 $F(\theta )={\int }_0^{\pi }\ln (1-\theta \cos x)dx,\theta \in (-1,1).$ (1) 求 $F^{\prime }(\theta )$⁠。 (2) 求 $F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

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求曲面积分 ${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,$ 其中 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $x^2+y^2+z^2=2$ 所围成的曲面的表面，取外侧。

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求曲线积分 $I={\oint }_{L}x{e}^{2xy}ds,$ 其中 $L$ 为以 $O(0,0),A(1,0),B(1,1)$ 为顶点的三角形边界。

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