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函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有三阶导数，且 $f(0)=0,f(1)=2,f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0.$ 证明：存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使得 $|f^{\prime \prime \prime }(\xi )|\ge 48.$

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求函数 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(x-\frac{1}{2n}\right)}^n$ 的定义域 $D$⁠，并讨论其在定义域内的连续性。

设函数 $f(x)\in C[-1,1]$⁠，证明： ${\lim }_{h\to 0^{+}}{\int }_{-1}^1\frac{h}{h^2+x^2}f(x)\mathrm{d}x=\pi f(0).$

讨论反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\sin (x^2-2x)\mathrm{d}x$ 的收敛性；若收敛，请指出是绝对收敛还是条件收敛。

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设数列 $u_n>0$⁠，且 ${\lim }_{n\to \infty }n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=\frac{1}{2}.$ 证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 收敛。

依据公开汇编中疑似错印命题改编；本题不作为南开大学正式原题。 判断恒等式 $\det \left(\begin{array}{cccc}\cos t& 1& 0& 0\\ 1& \cos 2t& 1& 0\\ 0& 1& \cos 2t& 1\\ 0& 0& 1& \cos 2t\end{array}\right)=\cos 4t$ 是否对所有实数 $t$ 成立；若不成立，请给出最简单的反例。

依据公开汇编中疑似缺少条件的命题改编；本题不作为同济大学正式原题。 设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可导，$f(0)=0$⁠，并且 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=0.$ 判断是否必有 ${\mathrm{liminf}}_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=0$⁠。若不成立，请给出反例，并证明在现有条件下仍可...

依据公开汇编中疑似错印命题改编；本题不作为华中科技大学正式原题。 判断下列命题是否成立：对任意 $x>0$⁠、$y\in \mathbb{R}$⁠，都有 $xy<x\ln x-x+e^y.$ 若不成立，请给出反例，并写出正确的不等式及等号条件。

依据公开汇编中疑似错印命题改编；本题不作为华东师范大学正式原题。 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f_{+}^{\prime }(a)<c<f_{-}^{\prime }(b).$ 判断是否必然存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$⁠；若不成立，请给出反例并说明更自然的正确结论。

依据公开汇编中疑似错印命题改编；本题不作为华中科技大学正式原题。 设 $f:[0,1]\to (0,\infty )$ 连续，$a\ge 1$⁠。判断命题 ${\lim }_{n\to \infty }{\left({\int }_0^1(a+x^n)f(x)dx\right)}^{1/n}=1+a$ 是否成立；若不成立，请给出反例并求出正确极限。

设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。证明：存在 $\alpha \in V$⁠，使得 $\alpha ,\sigma (\alpha ),\cdots ,{\sigma }^{n-1}(\alpha )$ 为 $V$ 的一组基，当且仅当 $\sigma$...

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分别写出 $x^6-1$ 在 $\mathbb{C}$ 与 $\mathbb{R}$ 上的标准因式分解，其中 $\mathbb{C}$ 表示复数域，$\mathbb{R}$ 表示实数域。

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