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设 $\mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵构成的线性空间为 $M_n(\mathbb{C})$⁠，$\mathbb{C}$ 为复数域，$\sigma$ 为 $M_n(\mathbb{C})$ 上的线性泛函，满足 $\sigma (AB)=\sigma (BA),$ 证明：存在 $\lambda \in \mathbb{C}$⁠，满足...

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$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，证明：对任意非零的 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$⁠，有 $\det \left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right)<0.$

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对于方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=3,\\ k{x}_1+x_2+x_3=2,\end{array}$ 问：$k$ 为何值时方程组无解？有无穷多解？并用基础解系表示。

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设 $f(x)$ 为定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上没有零点的实连续函数。若 $f(2023)+f(2024)=2025,$ 证明：对任意 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbb{R}$⁠，矩阵...

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每空 5 分，共 75 分。 (1) $A$ 为 $2026$ 阶方阵，对角线元素为 $4$⁠，其余元素为 $3$ 或 $2026$⁠，求 $\mathrm{rank}(A)=\underline{}$⁠。 (2) $A\in M_3(\mathbb{R})$⁠，$A^{\ast }=2A^{\mathrm{T}}$⁠，则...

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设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间， ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 为 $V$ 的标准正交基。 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $V$ 中的一组向量，满足...

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设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 为 $V$ 的一组基，度量矩阵为 $G$⁠。设 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 下的矩阵为 $A$⁠。证明：...

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设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\dots ,{\epsilon }_n$ 为线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\phi$ 在该基下的矩阵为 $A$⁠。证明： (1) $\dim (\ker \phi )=n-\mathrm{rank}(A).$ (2)...

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在二维仿射平面 ${\mathbb{R}}^2$ 中有三条不同的直线 $L_1:ax+by=c,L_2:bx+cy=a,L_3:cx+ay=b.$ 证明：这三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0.$

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设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 1& -2\\ 1& -1& 1& 3\\ 4& 1& 3& 4\\ 0& 5& -1& -8\end{array}\right).$ (1) 证明存在秩为 $2$ 的 $4$ 阶矩阵 $B$⁠，使得 $AB=O.$ (2) 证明不存在秩为 $3$ 的 $4$ 阶矩阵 $C$⁠，使得...

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设 $m,n,q,r$ 为非负整数，且 $m=nq+r,0\le r<n.$ (1) 证明 $(x^m-1,x^n-1)=(x^n-1,x^r-1).$ (2) 证明 $(x^m-1,x^n-1)=x^d-1,$ 其中 $d=(m,n)$ 为 $m,n$ 的最大公因数。

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已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 $6$ 阶矩阵， $f(\lambda )=(\lambda -2{)}^3(\lambda +3{)}^2(\lambda -4)$ 为 $A$ 的特征多项式， $m(\lambda )=(\lambda -2{)}^2(\lambda +3)(\lambda -4)$ 为 $A$ 的最小多项式。 (1) 求...

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