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计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{ccccc}2& 2& & & \\ -2& 2& 2& & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -2& 2& 2\\ & & & -2& 2\end{array}\right|.$

证明反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2{\sin }^{2}x}$ 发散。

证明函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在区间 $J_1=(-1,0)$ 和 $J_2=(0,1)$ 上均一致连续，但在 $J_1\cup J_2$ 上不一致连续。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，满足 $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0.$ 证明：至少存在一点 $c\in (a,b)$⁠，使 $|f^{\prime \prime }(c)|\ge \frac{4}{(b-a{)}^2}|f(b)-f(a)|.$

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证明函数列 $f_n(x)=\frac{\ln (nx)}{n{x}^2}$ 在 $(1,+\infty )$ 上一致收敛。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负可积，且 ${\int }_a^{b}f(x)dx=A.$ 证明： $\left({\int }_a^{b}f(x)e^{f(x)}dx\right)\left({\int }_a^b\frac{1}{f(x)}dx\right)\ge (b-a)(b-a+A).$

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且 $|f^{\prime }(x)|\le M.$ 证明：对任意正整数 $n$⁠，有 $\left|{\int }_0^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\right|\le \frac{M}{n}.$

求积分 $I={\iiint }_{\Omega }\sqrt{x^2+y^2+z^2}dV,$ 其中 $\Omega :x^2+y^2\le z^2,x^2+y^2+z^2\le R^2,z\ge 0.$

求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^3{x}^n$ 的和函数，其中 $|x|<1$⁠。

求柱面 $x^2+y^2=ax(a>0)$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 所围成的立体体积。

求 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1\ln (1+x^n)dx.$

在空间直角坐标系中，设单叶双曲面 $S$ 的一般方程为 $x^2+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{9}=1.$ 证明：存在经过 $y$ 轴的平面，使该平面与 $S$ 的截线为“长轴长与短轴长之比为 $\sqrt{3}$ 的椭圆”，并求出所有满足条件的平面。

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