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设 $S$ 为实对称方阵。证明：当且仅当 $S$ 可逆时，存在方阵 $A$⁠，使得 $SA+A^{T}S$ 正定。

设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，试找出 ${\lim }_{k\to \infty }{A}^k$ 存在的充分必要条件。

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设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n(n>0)$ 维线性空间，$f,g$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $fg-gf=f.$ 证明：$f$ 的特征值都是 $0$⁠，且 $f,g$ 有公共的特征向量。

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设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间上的线性变换， $f(x)=x^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_m$ 与 $g(x)$ 是两个复多项式，令 $\sigma =f(\phi ),\tau =g(\phi ).$ 矩阵 $F$ 是 $f(x)$ 的友矩阵。已知 $g(F)$...

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设 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是全体 $n$ 阶复方阵构成的复线性空间，令 $F=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& -a_n\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& -a_{n-1}\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& -a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& -a_2\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& -a_1\end{array}\right).$ ...

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设 $A,B$ 分别为 $m\times n$ 和 $n\times m$ 矩阵，$I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵。证明： $r(A)+r(B)=r(AB)+n$ 的充分必要条件是存在矩阵 $X,Y$⁠，使得 $XA-BY=I_n.$

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设 $f(x)\in C^1[x_0,x_2]$⁠，且 $x_0<x_1<x_2$⁠。问是否存在次数不超过 $2$ 的多项式 $p(x)$⁠，满足 $p(x_0)=f(x_0),p^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1),p(x_2)=f(x_2)?$ 若存在，求出所有的 $p(x)$⁠；若不存在，给出一个反例。

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求行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\sin {\theta }_1& \sin 2{\theta }_1& \cdots & \sin 2025{\theta }_1\\ \sin {\theta }_2& \sin 2{\theta }_2& \cdots & \sin 2025{\theta }_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \sin {\theta }_{2025}& \sin 2{\theta }_{2025}& \cdots & \sin 2025{\theta }_{2025}\end{array}\right|$ ...

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设 $p(x)$ 是次数为 $n$ 的有理系数多项式，$n>1$ 为奇数，且 $p(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。证明：若 $c_1,c_2$ 是 $p(x)$ 的两个不同复根，则 $c_1+c_2$ 不是有理数。

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解答下列问题： (1) 计算 $f(x)=\frac{2x\sin \theta }{1-2x\cos \theta +x^2}$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开式； (2) 设 $|x|<1$⁠，计算 ${\int }_0^{\pi }\ln (1-2x\cos \theta +x^2)d\theta .$

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设 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ 满足：存在 $L>0$⁠、$\alpha \in (0,1)$⁠，使对任意 $x,y\in (0,1)$⁠，始终有 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y{|}^{\alpha }.$ (1) 证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上连续； (2) 证明 $f$ 在 $(0,1)$...

证明：若函数 $u=f(x,y)$ 满足拉普拉斯方程 $u_{xx}+u_{yy}=0,$ 则函数 $v(x,y)=f(x-\sqrt{3}y,\sqrt{3}x+y)$ 也满足拉普拉斯方程。