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设 $10$ 阶方阵 $A$ 的每行元素之和均为 $4$⁠，并且 $|A-2I_{10}|=0,r(A)=2,$ 求 $|A+I_{10}|$ 的值。

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设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$⁠，其中 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，且 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2+{\alpha }_3-{\alpha }_4,\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4.$ ...

设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty )$ 上的正值连续函数，且 ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x<+\infty .$ 证明： ${\lim }_{A\to +\infty }\frac{1}{A^2}{\int }_0^{A}f(x)\mathrm{d}x=+\infty .$

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设 $f(x)$ 是闭区间 $[0,2]$ 上的正值连续函数，定义 $a_n={\int }_0^2{x}^{n}f(x)\mathrm{d}x,$ 求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{a_n}$ 的收敛域。

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设在区间 $[a,b]$ 上的连续函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$⁠，${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n(x)$ 的通项之间满足条件 $|u_n(x)|⩽v_n(x),n=1,2,\cdots ,$ 又设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n(x)$ 的和函数在...

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设函数 $f(x)\in C[a,b]$⁠，若有数列 $\{x_n\}\subset [a,b]$⁠，使得 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A,$ 证明：存在 $\xi \in [a,b]$⁠，使得 $f(\xi )=A$⁠。

证明不等式： $\frac{|a+b|}{1+|a+b|}⩽\frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}.$

设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$f(x),g(x)$ 是 $\mathbb{F}$ 上的互素多项式，且 $f(\phi )g(\phi )=0.$ 证明：...

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判断矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 是否可对角化。

记 ${\mathbb{R}}^{+}=\{a\in \mathbb{R}\mid a>0\},$ 定义加法和数乘为 $a\oplus b=ab,k\odot a=a^k.$ 此时 ${\mathbb{R}}^{+}$ 构成 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，试求该空间的维数和一组基。

已知 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $r(A)=r$⁠，证明：存在 $m\times r$ 矩阵 $B$ 和 $r\times n$ 矩阵 $C$⁠，使得 $A=BC,r(B)=r(C)=r.$

设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4),$ 其中 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，且 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2-3{\alpha }_3,\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4.$ ...