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计算 ${\int }_0^{\pi }\frac{dx}{3+{\sin }^{2}x}.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续且恒正，讨论 $F(y)={\int }_0^1\frac{yf(x)}{x^2+y^2}dx$ 的连续性。

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设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且对任意连续函数 $g$ 都有 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0.$ 证明 $f$ 在每个连续点的取值为0。

计算 ${\int }_0^1\frac{x}{e^x+e^{1-x}}dx.$

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(x)>0$⁠。证明 ${\lim }_{p\to 0+}{\left[\frac{1}{b-a}{\int }_a^b{f}^p(x)dx\right]}^{1/p}=\exp \left\{\frac{1}{b-a}{\int }_a^b\ln f(x)dx\right\}.$

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续可积且单调递减，且 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{3}f(x)dx$ 收敛。证明 ${\left({\int }_0^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx\right)}^2\le \frac{8}{9}{\int }_0^{+\infty }xf(x)dx{\int }_0^{+\infty }{x}^{3}f(x)dx.$ ...

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判断 ${\int }_0^{2\pi }{e}^{-x^2}\cos xdx$ 的正负，并说明理由。

计算 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-1/(4s)}{s}^{-3/2}{e}^{-s}ds.$

计算 ${\int }_0^1\frac{dx}{x+\sqrt{1-x^2}}.$

设 $f\in C^1[0,1]$⁠，且 $f(0)=f(1)=0$⁠。证明 $\left|{\int }_0^{1}f(x)dx\right|\le \frac{1}{4}{\max }_{0\le x\le 1}|f^{\prime }(x)|.$

证明： 1. 若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 ${\left[{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right]}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx{\int }_a^b{g}^2(x)dx;$ 2. 利用 Schwarz 不等式证明：若 $f$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续函数，且...

设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数。 1. 计算 ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$⁠； 2. 计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b|\sin nx|dx;$ 3. 确定常数 $c$⁠，使...