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设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 ${\int }_0^{1}f(x)dx=A.$ 证明 ${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x)f(y)dy=\frac{1}{2}{A}^2.$

求函数 $f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t)e^{-t^2}dt$ 的单调区间与极值。

计算不定积分 $I=\int \frac{\ln \sin x}{{\sin }^{2}x}dx.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 ${\int }_0^{1}f(x)dx=0$⁠。证明 ${\left({\int }_0^{1}xf(x)dx\right)}^2\le \frac{1}{12}{\int }_0^1{f}^2(x)dx.$

证明 ${\int }_0^1{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{n}dx={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{\int }_0^1{x}^{n-1}dx.$

计算 $\int x\ln \frac{1+x}{1-x}dx.$

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且不恒为零，并且 ${\int }_a^{b}f(x)dx=0.$ 1. 证明 $f$ 在 $(a,b)$ 内有一个零点； 2. 若另有 ${\int }_a^{b}xf(x)dx=0$⁠，证明 $f$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个零点。

已知 $a_n={\int }_0^1\frac{x^{n-1}}{1+x}dx.$ 证明 $a_n=\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)(n\to \infty ).$

计算积分： 1. $\int \frac{1+x^4}{1+x^6}dx;$ 2. ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx.$

设 $p$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续函数，$f,g$ 是 $[a,b]$ 上的连续单调递增函数。证明 ${\int }_a^{b}p(x)f(x)dx{\int }_a^{b}p(x)g(x)dx\le {\int }_a^{b}p(x)dx{\int }_a^{b}p(x)f(x)g(x)dx.$

设 $F(x)={\int }_0^x{e}^{-t}\cos tdt.$ 求 $F$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的最大值与最小值。

计算 ${\int }_0^1\frac{x^2-x}{\ln x}dx.$