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证明方程 $x={\int }_0^y\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$ 在 $x=0$ 的邻域内决定连续可微函数 $y=y(x)$⁠，并满足 $y^{\prime }(x)=\sqrt{1-y^4(x)}.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$⁠。若 ${\min }_{x\in [0,1]}f(x)=-1,$ 证明存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(\xi )\ge 8$⁠。

设 $f\in C^1[1,+\infty )$⁠，且 $|f^{\prime }(x)|\le 1$($x\ge 1$)。证明 $f(x)/x$ 在 $[1,+\infty )$ 上一致连续。

证明函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{1/x},& x<0,\\ x^2,& x\ge 0\end{array}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可导。

求函数 $f(x)=(1-x)\sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 内的极值点和极值。

设 $f$ 连续， $g(x)=\frac{1}{n!}{\int }_a^x(x-t{)}^{n}f(t)dt.$ 计算 $g^{(n+1)}(x)$⁠。

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，且 $f(0)=0$⁠。证明：对任意正整数 $k$⁠，至少存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $\xi f^{\prime }(\xi )+kf(\xi )=f^{\prime }(\xi ).$

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内有二阶导数，且 $c\in (a,b)$⁠。证明存在 $\xi \in (a,b)$⁠，使 $\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(\xi ).$

设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数，且 $f(0)=0$⁠、$f(1)=1$⁠。证明：对任意正整数 $n$⁠，存在 ${\xi }_n\in [0,1)$⁠，使 $f\left({\xi }_n+\frac{1}{n}\right)=f({\xi }_n)+\frac{1}{n}.$

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且存在 $c\in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(c)=0$⁠。证明存在 $\xi \in (a,b)$⁠，使 $f^{\prime }(\xi )-f(\xi )+f(a)=0.$

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求使不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+\alpha }>e$ 对所有正整数 $n$ 都成立的最小实数 $\alpha$⁠。

设 $y=y(x)$⁠、$z=z(x)$ 由方程组 $\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2,\\ x^2+2y^2+3z^2=1\end{array}$ 隐式确定，求 $dy/dx$ 与 $dz/dx$⁠。