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求曲面 $e^z-z+xy=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面与法线方程。

求二元函数 $f(x,y)=5x^2+5y^2-8xy$ 在条件 $x^2+y^2-xy=75$ 下的最小值。

利用变换 $u=x+e^y,v=x-e^y$ 求解偏微分方程 $e^{2y}{z}_{xx}-z_{yy}+z_y=0.$

求函数 $f(x,y,z)=xyz$ 在圆周 $\{\begin{array}{l}x+y+z=0,\\ x^2+y^2+z^2=1\end{array}$ 上的最大值和最小值。

设 $B$ 为单位圆盘，函数 $u$ 在圆周上恒为0，在 $B$ 内满足 $u(x)<0$⁠，且 Hess 矩阵处处正定。 1. 定义 $\Phi (x)=\frac{x}{u(x)}:B\to {\mathbb{R}}^2.$ 证明该映射可逆； 2. 若反函数记为 $x=\psi (y)$⁠，证明 $\psi$ 存在二阶偏导数。

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设 $f\in C^{2k+1}(-1,1)$⁠，$k\in \mathbb{N}$⁠，且 $f^{(i)}(0)=0,0\le i\le 2k,$ 并有 $f^{(2k+1)}(0)\ne 0$⁠。证明 $f$ 在 $x=0$ 附近可逆。

求抛物线 $y=x^2$ 到直线 $x-y=2$ 的最小距离。

设 $a,b,c$ 均为正数，证明 $ab{c}^3\le 27{\left(\frac{a+b+c}{5}\right)}^5.$

作自变量变换 $\{\begin{array}{l}u=x-2y,\\ v=x+ay,\end{array}$ 把方程 $6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=0$ 化为 $z_{uv}=0$⁠。求 $a$⁠。

设 $z=z(x,y)$ 由方程 $2x^2+y^2+z^2+2xy-2x-2y-4z+4=0$ 确定。求 $z(x,y)$ 的极值点与极值。

设 $u=e^x+\sin y+t,x=st,y=s+t.$ 求 $\partial u/\partial t$⁠。

设 $u$ 在闭单位圆盘 $D:x^2+y^2\le 1$ 上连续，在内部满足 $u_{xx}+u_{yy}=u.$ 1. 若边界上 $u\ge 0$⁠，证明整个闭圆盘上 $u\ge 0$⁠； 2. 若边界上 $u>0$⁠，证明整个闭圆盘上 $u>0$⁠。

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