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若 $A(1,3)$⁠、$B(4,2)$⁠，求第一象限椭圆弧 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1,x\ge 0,y\ge 0$ 上一点 $C$⁠，使 $△ABC$ 的面积最大。

计算三重积分 $I={\iiint }_{\Omega }zdxdydz,$ 其中 $\Omega$ 是两个球面 $x^2+y^2+z^2=2z,x^2+y^2+z^2=z$ 之间的点集。

设 $D$ 为平面上的有界闭区域，$u(x,y)$ 在 $D$ 上连续、存在偏导数，并满足 $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=u(x,y),u{|}_{\partial D}=0.$ 证明：$u(x,y)$ 在 $D$ 上恒为零。

若 $f(x)=(x^2+2x-3{)}^{100}\cos \frac{\pi x^2}{4},$ 求 $f^{(100)}(1)$⁠。

设 $f(x,y)$ 为开区域 $D\subseteq {\mathbb{R}}^2$ 上的连续可导函数，$u,v$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中夹角为 $\alpha$ 的单位向量。证明...

设 $f(x,y)=\phi (|xy|),$ 其中 $\phi (0)=0$⁠，且存在 $\delta >0$⁠，使得当 $|u|<\delta$ 时有 $|\phi (u)|\le u^2.$ 证明 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。

已知 $f(x,y,z)=x+y+z,$ $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 为单位球面上一点。 1. 求 $f$ 在 $P_0$ 处沿外法方向的方向导数； 2. 上述方向导数的最大值在何处取得。

求抛物面 $x^2+y^2=2az$ 被柱面 $x^2+xy+y^2=a^2$ 所截曲线的高度，即 $z$ 的最大值与最小值，其中 $a>0$⁠。

已知 $f(x,y)=|x-y|\phi (x,y),$ 其中 $\phi (x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的一个邻域内连续。证明：$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微的充分必要条件是 $\phi (0,0)=0.$

已知 $f_x,f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 的一个邻域内存在，且 $f_x,f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。证明 $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0).$

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求椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,a,b,c>0$ 上一点处的切平面，使得该平面与三个坐标平面围成的立体体积最小。

求函数 $f(x,y)=xy+\frac{50}{x}+\frac{20}{y},x>0,y>0$ 的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点。