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求 $I={\oint }_{L}ydx+zdy+xdz,$ 其中 $L$ 为 $x^2+y^2+z^2=1$ 与 $x+y+z=1$ 的交线；从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向。

设实轴上函数 $f(x)$ 有连续一阶导数，$f(0)=-\frac{1}{2}$⁠，且曲线积分 ${\int }_C[e^x-f(x)]ydx+f(x)dy$ 与路径无关。求 $f(x)$⁠。

设定义在 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 上的函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 及 $(0,+\infty )$ 上有连续导数，且 $f(1)=0$⁠。确定 $f$⁠，使得对任意与直线 $y=x$⁠、$y=-x$ 不相交的光滑闭曲线 $L$⁠，都有...

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设 $\Gamma$ 是以 $(1,0)$ 为中心、$r$ 为半径的圆周 $(r\ne 1)$⁠，逆时针方向为正向。求 $I={\oint }_{\Gamma }\frac{-ydx+xdy}{4x^2+y^2}.$

已知 $f$ 连续可微，且 $f(1)=2$⁠、$f(4)=3$⁠。求 ${\oint }_L\frac{f(xy)}{y}dy,$ 其中 $L$ 是曲线 $y=x,y=4x,xy=1,xy=4$ 所围区域的边界，取逆时针方向。

设 $S$ 为三维空间中半径为 $R$ 的球面，${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 中光滑向量场 $\vec{F}(x,y,z)=f(\Vert \vec{r}\Vert )\vec{r},\vec{r}=(x,y,z),$ 且 $f$ 只依赖于 $\Vert \vec{r}\Vert$⁠。$\vec{N}$ 为 $S$...

设 $C$ 为三维空间中环绕 $z$ 轴一周、与 $z$ 轴无交点的光滑简单闭曲线，其定向与 $z$ 轴成右手系。记 $(P,Q,R)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2},0\right).$ 求 ${\int }_{C}Pdx+Qdy+Rdz.$

在满足右手法则的坐标系中，设 $\Gamma$ 是平面 $x+y=2$ 和球面 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=2$ 相交所得圆周。从原点看过去，以顺时针方向为 $\Gamma$ 的正定向。计算 ${\int }_{\Gamma }ydx+zdy+xdz.$

求平面曲线 $(x-b{)}^2+y^2=a^2,0<a\le b,$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得曲面的面积。

计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le 1}{x}^2\sin ydxdy.$

设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\},{\alpha }^2+{\beta }^2=1.$ 计算 ${\iint }_D\frac{dxdy}{\sqrt{(1-\alpha x+\beta y{)}^2+(\beta x+\alpha y{)}^2}}.$

计算 ${\lim }_{t\to 0+}\frac{1}{t^4}{\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)dxdydz,$ 其中 $f(0)=0$⁠、$f^{\prime }(0)=2$⁠。