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设 $S$ 是单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 被锥面 $z>\sqrt{x^2+y^2}$ 所截部分，取球面外侧为正向。对于 $F=(xy+\cos z,-xy+x^2,x+2z^2),$ 求通量 ${\iint }_{S}F\cdot ndS.$

计算 ${\iint }_S{x}^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy,$ 其中 $S$ 为 $z=4,z=4-(x^2+y^2),x^2+y^2=4$ 所围闭曲面的外侧。

设闭曲面 $S$ 由 $x=y^2+z^2,x=x_0,x=x_1$ 围成，其中 $0<x_0<x_1$⁠，方向取外侧。求...

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设 $\Omega$ 是由 $yoz$ 面上的曲线 $y^2+z^4-4z^2=0,z\ge 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面与 $xoy$ 平面围成的立体。若密度为 $u(x,y,z)=z,$ 求重心坐标。

计算 ${\iint }_S\frac{xz}{a^2}dydz+\frac{yz}{b^2}dzdx+\frac{z^2}{c^2}dxdy,$ 其中...

证明 $\frac{1}{2}{\iint }_{\Omega }\cos (\vec{r},\vec{n})dS={\iiint }_V\frac{1}{r}dxdydz,$ 其中 $\Omega$ 是包围 $V$ 的曲面， $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\vec{r}=(x,y,z),$ $\vec{n}$ 为...

设 $f\in C^1(\mathbb{R})$⁠，$L$ 是上半平面 $y>0$ 内从 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 的有向分段光滑曲线。记 $I={\int }_L\frac{1}{y}[1+y^{2}f(xy)]dx+\frac{x}{y^2}[y^{2}f(xy)-1]dy.$ 1. 证明 $I$ 与路径无关； 2. 当...

计算 ${\int }_{x^2+y^2=1}\ln [(x-4{)}^2+y^2]ds.$

求 ${\oint }_L(x+z)dx+x^{4}dz,$ 其中 $L$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=1,x^2+y^2=3z^2,z\ge 0$ 的交线；从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。

求 $u(x,y)={\oint }_C\frac{\cos (\mathbf{r},\mathbf{n})}{r}ds,$ 其中 $r=\sqrt{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2},$ $\mathbf{r}$ 为 $M(x,y)$ 到 $C$ 上点 $(\xi ,\eta )$ 的向量，$M\notin C$⁠，...

计算 ${\int }_{L}xydx,$ 其中 $L$ 是圆周 $(x-a{)}^2+y^2=a^2,a>0$ 及 $x$ 轴围成的第一象限区域的边界，取逆时针方向。

求 ${\int }_L{e}^y\cos xdx+(e^y\sin x-x^2)dy,$ 其中 $L$ 为右半圆 $x^2+y^2=ay,y\ge 0,$ 方向从 $(0,0)$ 到 $(0,a)$⁠。