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在 $[0,\pi ]$ 上令 $f(x)=\frac{{\pi }^2}{2}-x^2.$ 将 $f$ 展开为 $[-\pi ,\pi ]$ 上的余弦级数，并求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}.$

设 $a_n>0$⁠，且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，令 $r_n={\sum }_{m=n}^{\infty }{a}_m.$ 1. 证明 $\sum a_n/r_n$ 发散； 2. 证明 $\sum a_n/\sqrt{r_n}$ 收敛。

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设可微函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上逐点收敛，且 $\{f_n^{\prime }\}$ 在 $[a,b]$ 上一致有界。证明 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

计算 $I={\iint }_S{x}^{3}dydz+y^{3}dzdx+z^{3}dxdy,$ 其中 $S$ 是球面 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ 的外侧。

计算 ${\iint }_{\Sigma }(y-2z)dydz+zdxdy,$ 其中 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+y^2+z^2=2z,0\le z\le 1,$ 法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角。

计算 ${\iint }_S(x{y}^2+z^3)dydz+(y{z}^2+x^3)dzdx+(z{x}^2+a^3)dxdy,$ 其中 $S$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},a>0,$ 方向向上。

计算 ${\iint }_{\Sigma }(x+y+z)dS,$ 其中 $\Sigma$ 为单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的上半部分。

求 ${\iint }_{\Sigma }{x}^{2}dydz,$ 其中 $\Sigma :(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=1,$ 方向取外侧。

对于 Dirichlet 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^x},$ 若级数在 $x=x_0$ 处收敛，证明该级数在 $[x_0,+\infty )$ 上一致收敛；特别地，在 $x>x_0+1$ 时绝对收敛。

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求第二型曲面积分 $I={\iint }_{\Sigma }\frac{3xdydz+(z+3{)}^{2}dxdy}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}},$ 其中 $\Sigma$ 为下半球面 $z=-\sqrt{9-x^2-y^2},$ 方向为上侧。

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求第一型曲面积分 ${\iint }_S\sqrt{1+x^2+y^2}dS,$ 其中螺旋面参数方程为 $x=u\cos v,y=u\sin v,z=v,0\le u\le 1,0\le v\le \pi .$

计算 ${\iint }_S(y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy,$ 其中 $S$ 为圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2},z\le h,h>0,$ 取曲面外侧。