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设 $V=\left\{(x_1,x_2+i{x}_3,x_2-i{x}_3,-x_1{)}^T\in {\mathbb{C}}^4:x_1,x_2,x_3\in \mathbb{R}\right\}.$ 把 $V$ 看成实线性空间，求一组基。

设四阶实矩阵 $A$ 的秩为2，线性无关向量 $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^4$ 满足 $A(\alpha +\beta )=4\alpha +3\beta ,A(\alpha -\beta )=2\alpha -3\beta .$ 求 $S=\{B\in M_4(\mathbb{R}):AB=BA\}$ ...

设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的 $r$ 重特征值。证明 $\dim \ker (\lambda I-A{)}^r=r.$

设 $F$ 为多项式 $t^n+a_1{t}^{n-1}+\cdots +a_n$ 的 Frobenius 伴随矩阵，即 $F=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_n\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_{n-1}\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_1\end{array}\right).$ ...

设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $m\times n$ 矩阵。固定正整数 $s$⁠，令 $V=\{X\in M_{n\times s}(K):AX=0\}.$ 问 $V$ 是否构成线性空间；若是，求其维数及一组基。

设 $U,V$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间。若一对 $(T,\sigma )$ 满足张量积的泛性质：对任意线性空间 $W$ 和任意双线性映射 $\theta :U\times V\to W$⁠，存在唯一线性映射 $\phi :T\to W$⁠，使 $\theta =\phi \sigma$⁠。证明张量积在同构意义下唯一。

设 $D:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ 满足 $D(fg)=D(f)g+fD(g),D(x)=1.$ 1. 证明 $D(f)=f^{\prime }$⁠； 2. 求 $D$ 限制在 $\mathbb{R}[x{]}_n$(次数不超过 $n$)上的全部不变子空间。

设 $\phi$ 是有限维复线性空间 $V$ 上的线性映射，并且对任意 $t\in \mathbb{C}$⁠， $\dim \ker ({\phi }^2-t{I}_V)\le 1.$ 证明： 1. 若 $\lambda \ne 0$ 是 $\phi$ 的特征值，则 $-\lambda$ 不是 $\phi$ 的特征值； 2....

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在复线性空间 $M_2(\mathbb{C})$ 中，以 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 为有序基。令 $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),{\phi }_B(X)=BX.$ 1. 证明 ${\phi }_B$ 线性； 2....

设 $U,V,W$ 是域 $F$ 上的有限维向量空间，$\alpha :U\to V$⁠、$\beta :V\to W$ 为线性映射，满足 $\beta \alpha =0$⁠。并且对任意向量空间 $X$ 与线性映射 $f:V\to X$⁠，只要 $f\alpha =0$⁠，就存在唯一线性映射 $\mu :W\to X$⁠，使...

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设 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$⁠，$r(A)=r>0$⁠。 1. 证明存在唯一矩阵 $P\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$⁠，满足 $P^T=P^2=P,r(P)=r(A),PA=A;$ 2. 求 $P$ 的特征多项式与特征子空间； 3. 当...

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设数域 $K$ 上多项式 $f_1(x),\dots ,f_s(x)$ 的最大公因式为 $f_0(x)$⁠，且 $\mathrm{deg}{f}_0=d<n.$ 令...