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设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换， $f(x),g(x)\in K[x]$⁠，并令 $h(x)=f(x)g(x)$⁠。证明： 1. $\ker f(\sigma )+\ker g(\sigma )\subseteq \ker h(\sigma )$⁠； 2. 若 $(f,g)=1$⁠，则...

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间。存在一组线性变换 ${\sigma }_{ij}(1\le i,j\le n)$⁠，其中至少一个不为零，并满足 ${\sigma }_{ij}{\sigma }_{hk}=\{\begin{array}{ll}{\sigma }_{ik},& j=h,\\ 0,& j\ne h.\end{array}$ 证明：$V$ 中存在一组基...

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设 $\sigma$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的线性变换，且 ${\sigma }^2=0$⁠。证明：存在一个线性映射 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ 和一个向量 $y\in {\mathbb{R}}^3$⁠，使得对任意 $x\in {\mathbb{R}}^3$⁠，均有 $\sigma (x)=f(x)y.$

设 $\sigma$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换。证明： 1. $\ker \sigma =\ker {\sigma }^2$ 的充要条件是 $\ker \sigma \cap \mathrm{Im}\sigma =\{0\}$⁠； 2. $\mathrm{Im}\sigma =\mathrm{Im}{\sigma }^2$...

设 $K[x{]}_n=\{f(x)\in K[x]:\mathrm{deg}f<n\}\cup \{0\},$ 并定义线性变换 $\mathcal{A}(f)(x)=f(x)+f^{\prime }(x)+\frac{f^{\prime \prime }(x)}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x)}{(n-1)!}.$ 令...

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在 $M_{2\times 2}(\mathbb{C})$ 上定义 $\mathcal{A}(X)=MXN,M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$ 求一组基，使 $\mathcal{A}$...

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设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，0 是 $\mathcal{A}$ 的特征多项式的 $r$ 重根。证明 $\mathrm{rank}{\mathcal{A}}^r=n-r.$

设 $V$ 是 $n$ 维 Euclid 空间，$\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 ${\mathcal{A}}^2=0,$ ...

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在复线性空间 $M_2(\mathbb{C})$ 上，给定 $A=\left(\begin{array}{cc}8& 1\\ 3& 8\end{array}\right),$ 定义线性变换 $\mathcal{B}(X)=AX-XA.$ 求 $\mathcal{B}$ 的特征值、相应特征子空间以及最小多项式。

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设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$L(V)$ 是其全部线性变换构成的空间。固定 $v\in V$⁠，令 $E=\{T\in L(V):T(v)=0\}.$ 1. 证明 $E$ 是 $L(V)$ 的子空间； 2. 当 $v\ne 0$ 时求 $\dim E$⁠。

在 ${\mathbb{R}}^n$ 上给定实矩阵 $A$⁠，定义双线性函数 $(X,Y)=X^{T}AY.$ 1. 证明该函数是内积，当且仅当存在可逆实矩阵 $B$ 使 $A=B^{T}B;$ 2. 对 $\alpha \in {\mathbb{R}}^n$⁠，令 ${\rho }_{\alpha }(X)=(\alpha ,X)$⁠，并定义...

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设 $U$ 是有限维内积空间 $V$ 的子空间，$U^{\perp }$ 为 $U$ 的正交补。证明： 1. $U^{\perp }$ 是 $V$ 的子空间； 2. $V=U\oplus U^{\perp }$⁠。