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已知 ${\alpha }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^T.$ 求 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$⁠，使 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组规范正交基。

设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间。 1. 叙述并证明两个子空间之和的维数公式； 2. 固定 $0\ne \alpha \in V$⁠，令 $W=\{\beta \in V$:\text{存在 }T\in L(V), \ T(\alpha)=\beta\}. 证明 $W=V$⁠。

设 $F$ 为数域，$C(M)$ 表示所有与方阵 $M$ 可交换的同阶矩阵组成的集合。令 $f(x)=(x-1{)}^2(x+2{)}^2.$ 1. 证明 $C(M)$ 是线性空间； 2. 特征多项式为 $f(x)$ 的矩阵按相似关系分为几类？每类写一个代表； 3. 若 $A$ 的特征多项式为 $f(x)$⁠，求...

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设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$ 并令 $C(A)=\{B\in M_3(F):AB=BA\}.$ 1. 证明 $C(A)$ 是 $M_3(F)$ 的线性子空间； 2. 求 $C(A)$ 的维数和一组基。

设 $V$ 是实向量空间，非零向量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in V$ 的秩为 $r$⁠。令 $W=\left\{(k_1,\dots ,k_n)\in {\mathbb{R}}^n:{\sum }_{i=1}^n{k}_i{\alpha }_i=0\right\}.$ 证明 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的...

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵。记 $N(A)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:Ax=0\},R(B)=\{Bx:x\in {\mathbb{R}}^s\}.$ 证明 $\dim N(AB)=\dim N(A)+\dim N(B)$ 的充要条件为...

在 ${\mathbb{R}}^4$ 中设 $W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4{)}^T:x_1+2x_2-x_4=0\},$ $W_2=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\},{\alpha }_1=(1,-1,0,1{)}^T,{\alpha }_2=(1,0,2,3{)}^T.$ ...

设 $F$ 为 $n$ 阶 Frobenius 伴随矩阵，$A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})$⁠。 1. 若 $AF=FA$⁠，证明 $A=a_{11}I+a_{21}F+a_{31}{F}^2+\cdots +a_{n1}{F}^{n-1};$ 2. 求...

设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\mathcal{A}$-不变子空间。已知 $\mathcal{A}$ 有 $k$ 个互异特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$⁠，相应特征向量为 ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_k$⁠。若...

设 $A$ 是数域 $F$ 上的 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $(n-m)\times n$ 矩阵。令 $V_1=\{x\in F^n:Ax=0\},V_2=\{x\in F^n:Bx=0\}.$ 若 $C=\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$ 可逆，证明...

设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间，$f_1,f_2:V\to \mathbb{C}$ 是非零线性函数，且不存在 $0\ne c\in \mathbb{C}$ 使 $f_1=c{f}_2$⁠。证明：任意 $\alpha \in V$ 都可写为 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2,$ 使...

设 $V$ 是实线性空间 $M_n(\mathbb{R})$ 的线性子空间，并且每个非零 $A\in V$ 都可逆。证明 $\dim V\le n.$