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已知 $A$ 为二阶实对称矩阵，且 $\det A=36,\mathrm{tr}A=13.$ 1. 证明 $A$ 正定； 2. 判断二次曲线 $X^{T}AX=4,X=(x,y{)}^T$ 的形状。

设 $U,V,W$ 是某一线性空间的子空间。证明 $(U+V)\cap (U+W)\cap (W+V)=U\cap (W+V)+V\cap (U+W).$

设 $n$ 阶实矩阵 $A,B,C,D$ 两两可交换，且 $I=AC+BD.$ 方程组 $ABX=0,AX=0,BX=0$ 的解空间分别为 $W,V_1,V_2$⁠。证明 $W=V_1\oplus V_2.$

设 $\sigma$ 是有限维线性空间 $V$ 上的可逆线性变换，$W\subseteq V$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。证明 $W$ 也是 ${\sigma }^{-1}$ 的不变子空间。

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵。 1. 证明 $AB-BA$ 的特征值要么为0，要么为纯虚数； 2. 证明 $\mathrm{tr}((AB{)}^2)\le \mathrm{tr}(A^2{B}^2).$

证明：任意秩为 $r$ 的实对称矩阵，可以分解为 $r$ 个秩为1的实对称矩阵之和。

设 $A,B$ 均为正交矩阵，且 $\det A=-1,\det B=1.$ 1. 证明 $-1$ 是 $A$ 的特征值； 2. 证明 $\det (A+B)=0$⁠。

设 $A$ 为三阶正定矩阵，$v_1,\dots ,v_k\in {\mathbb{R}}^3$⁠，且当 $i\ne j$ 时 $v_i^{T}A{v}_j\le -\frac{1}{2023}.$ 证明 $k\le 4.$

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设 ${\mathbb{R}}^4$ 中的二次型 $Q=x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_4^2+6x_1{x}_2+4x_1{x}_4+4x_2{x}_3+6x_2{x}_4-2x_3{x}_4.$ 求 $Q$ 的正、负惯性指数。

设实矩阵 $A$ 的特征多项式和最小多项式均为 $({\lambda }^2+p\lambda +q{)}^2,$ 且 $a+bi(b\ne 0)$ 是 $A$ 的一个特征值。证明：存在实可逆矩阵 $C$⁠，使...

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设 $A$ 是一个 $m\times n$ 实矩阵。证明： 1. $\mathrm{rank}(A^{T}A)=\mathrm{rank}A$⁠； 2. $A^{T}A$ 半正定，并且 $A^{T}A$ 正定当且仅当 $\mathrm{rank}A=n$⁠。

设 $A$ 为元素全为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\sqrt{3}$ 是 $A$ 的一个特征值。 1. 证明 $-\sqrt{3}$ 也是 $A$ 的特征值； 2. 证明当 $n=3$ 时，存在实可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。