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设 $U,W$ 是欧氏空间 $V$ 的两个子空间。判断并证明下列两个等式中成立者，并对不成立者给出反例： $\text{甲：}(U+W{)}^{\perp }=U^{\perp }+W^{\perp },\text{乙：}(U+W{)}^{\perp }=U^{\perp }\cap W^{\perp }.$

设 $A$ 是 $m$ 阶方阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，$Q$ 是 $m\times n$ 矩阵，$f_A(x),f_B(x)$ 分别为 $A,B$ 的特征多项式。 1. 证明 $f_B(A)$ 可逆的充要条件是 $(f_A,f_B)=1$⁠； 2. 若 $(f_A,f_B)=1$ 且 $AQ=QB$⁠，证明...

设 $A$ 是 $3n$ 阶复矩阵，$n\ge 2$⁠。设 $\mu (x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$f(x)$ 是其特征多项式，且 $f(x)=\mu (x{)}^3.$ 设 $A$ 的互异特征值个数为 $k$⁠，线性无关特征向量的最大个数为 $s$⁠。证明： 1. $A$ 可对角化当且仅当 $k=n$⁠； 2....

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已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}4& 1& 0& -1\\ 0& 3& 0& 1\\ 0& 0& 4& 0\\ 1& 0& 0& 5\end{array}\right).$ 1. 求特征多项式 $f_A(x)$⁠； 2. 求最小多项式 $m_A(x)$⁠； 3. 求 Jordan 标准形。

设 $V$ 是内积空间，$f$ 是 $V$ 上保持非零向量夹角不变的线性变换。证明：存在 $\lambda >0$⁠，使 $\lambda f$ 是正交变换。

设 $f(x)$ 是一元多项式，$B$ 是 $n$ 阶方阵。 1. 设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $B$ 的全部特征值(按代数重数计)，证明 $f({\lambda }_1),\dots ,f({\lambda }_n)$ 是 $f(B)$ 的全部特征值； 2. 设 $f$ 是矩阵 $A$...

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& x_1& x_2\\ 0& b& x_3\\ 0& 0& a\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}.$ 确定 $A$ 的 Jordan 标准形。

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，定义线性变换 $\sigma :M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C}),\sigma (X)=AX-XA.$ 若 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，证明 $\sigma$ 可对角化。

设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间，$A,B$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $AB-BA=2023B.$ 证明：存在 $A$ 的特征向量 $u$⁠，使 $B(u)=0$⁠。

设 $V=\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}:a,b,c\in \mathbb{Q}\},$ 并定义乘法线性变换 ${\phi }_x:V\to V,y\mapsto xy.$ 1. 求 ${\phi }_{1+\sqrt[3]{2}}$ 在基...

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设 $f(x)\in P[x]$ 是二次多项式，$x_1,x_2\in P$ 是它的两个不同根。设 $A$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的非数乘线性变换，且 $f(A)=0$⁠。证明： 1. $x_1,x_2$ 都是 $A$ 的特征值； 2. $V=V_{x_1}\oplus V_{x_2}$⁠。

写出线性变换 $\sigma$ 可对角化的充要条件，至少四个。